地球の中心を貫く井戸の気圧

質問

小学生の時に読んだ話ですが：地球の中心を通して真っ直ぐなパイプを向こう側に突き抜けるまで刺す。この井戸に飛び込めば、「地球の裏側」に到達するまで数十分しか掛からないとか。
　では、地球を密度が一様な半径R≒6.4×10^6[m]の球体と仮定し、パイプの両端は地表で開放されており、パイプの中は深さによらず気温を一定にしてあると仮定して、地球の中心におけるパイプ内の気圧は幾らぐらいになるんでしょう？

　地球の中心からh [m]（0≦h≦R)の場所において働く重力加速度g(h)は（地球を密度が一様と仮定したので）
g(h)∝h
だから、地表での重力加速度 g(R)≒10[m/s^2]を使って、
g(h)=(g(R)/R)h
　気温一定なので、大気の密度ρ(h)は大気圧P(h)に比例する。
ρ(h)∝P(h)
だから、P(R)≒(10^5) [Pa] =(10^5) [kg/m/s^2]と、ρ(R)≒1.3 [kg/m^3]を使って
ρ(h)=(ρ(R)P(h))/P(R)
　従って、hの微小変化による圧力の変化は
dP/dh = - ρ(h)g(h)
ゆえに
dP/dh = - ((ρ(R)g(R))/(P(R)R)) h P(h)
です。この微分方程式の解として
P(h) = P(R) exp[(ρ(R)g(R)(R - ((h^2) / R)) / (2P(R))]
が得られます（exp[x]は指数関数）が、ここでh=0とすると
P(0)=P(R) exp[(ρ(R)g(R)R / (2P(R))]
　= (10^5) exp[(1.3×10×6.4×10^6)/(2×10^5)]
　≒ exp[400]
そんなバカな、という圧力です。
　私は何を間違えたんでしょう？それとも、空気はある深さで高圧のために液化してしまって、それより深いところでは上記の微分方程式は成り立たない？

回答No.2

heichan

門外漢ですが、面白そうなので一緒に考えさせてください。定量的な話はパスで（笑）。

すくなくともstomachmanさんの方程式が完全には成立しないのは確かですね。この圧力をボイル=シャルルの法則にあてはめたら原子核同士がくっついてしまいますから！
固化ないし液化してしまうような気がしますが温度にもよりますし、空気（窒素および酸素）の状態図は見つからなかったので、具体的に気体・液体・固体・それ以外のどれになるか、ちょっと私には言明できません。
ただ超高圧で原子同士が接近すると原子核の電気による反発力が急激に増大するはずなので、圧力をかけても圧縮されにくい状態になるはずです。
固体や液体と呼べる状態であっても、仮に気体に近い物性を保っていたとしてもこのことは変わりません（核融合反応が起きれば別ですが、これはさすがにないでしょう）。

つまり、ρ(h)∝P(h) という前提の式がくずれる訳ですね。
圧縮による密度増大が抑制される訳ですから、実際の圧力はstomachmanさんの答えよりも遥かに小さい値になるはずです。
実際の地球中心では100万気圧で比重15程度（主成分は鉄です）のはずなので、まぁ温度の問題を抜きにすれば大きく見積もってもこれ以下、ということになりますね。

しかし、実際どういう状態になるんでしょうね？
勘でいうと液体に近いような気がしますが。hero1000さんの言われるとおりなら固体という事になりますね。

余談ですが地球よりはるかに大きな木星などの中心では、固化したガス（水素）がケタ違いの超高圧で圧縮されるため原子同士が接近して、金属に似た特異な物性を呈しているそうです。しかも超高温の下で。
地球の中心の圧力＋常温でここまでの状態になるかどうかは不勉強のため分かりません。より詳しい方に譲って逃げます（笑）。

補足

液化・固化しそうだ、という訳ですか。そうなんだろうなあ。どのぐらいの深さで液化するんでしょうね？
質問に書いた式だと、36kmの井戸で100気圧。1000mの深海と同じ。取りあえずCO2が液化するのはこの位の深さかな？案外浅いところで空気は液化しちゃうんでしょうか。（いやいや、イー加減な式をもとにした怪しいお話に過ぎません。）
　ガス惑星では深いほど密度が高いでしょうから、重力もg∝hにはならず、むしろgがもっと緩やかに変化するでしょう。少なくとも局所的にはg∝h^α(-2<α<1）。従って井戸に比べると、深くなるほど圧力の上昇はいっそう急激のはず。一方で温度分布も無視できないから、放射能による熱の発生と輸送も勘定に入れなくてはならない。事情はだいぶ違うだろうと思います。
　ところで、高圧高温下での水素の金属化は聞いたことありますが、証明されているんでしょうか？