地球の中心を貫く井戸の気圧

質問

小学生の時に読んだ話ですが：地球の中心を通して真っ直ぐなパイプを向こう側に突き抜けるまで刺す。この井戸に飛び込めば、「地球の裏側」に到達するまで数十分しか掛からないとか。
　では、地球を密度が一様な半径R≒6.4×10^6[m]の球体と仮定し、パイプの両端は地表で開放されており、パイプの中は深さによらず気温を一定にしてあると仮定して、地球の中心におけるパイプ内の気圧は幾らぐらいになるんでしょう？

　地球の中心からh [m]（0≦h≦R)の場所において働く重力加速度g(h)は（地球を密度が一様と仮定したので）
g(h)∝h
だから、地表での重力加速度 g(R)≒10[m/s^2]を使って、
g(h)=(g(R)/R)h
　気温一定なので、大気の密度ρ(h)は大気圧P(h)に比例する。
ρ(h)∝P(h)
だから、P(R)≒(10^5) [Pa] =(10^5) [kg/m/s^2]と、ρ(R)≒1.3 [kg/m^3]を使って
ρ(h)=(ρ(R)P(h))/P(R)
　従って、hの微小変化による圧力の変化は
dP/dh = - ρ(h)g(h)
ゆえに
dP/dh = - ((ρ(R)g(R))/(P(R)R)) h P(h)
です。この微分方程式の解として
P(h) = P(R) exp[(ρ(R)g(R)(R - ((h^2) / R)) / (2P(R))]
が得られます（exp[x]は指数関数）が、ここでh=0とすると
P(0)=P(R) exp[(ρ(R)g(R)R / (2P(R))]
　= (10^5) exp[(1.3×10×6.4×10^6)/(2×10^5)]
　≒ exp[400]
そんなバカな、という圧力です。
　私は何を間違えたんでしょう？それとも、空気はある深さで高圧のために液化してしまって、それより深いところでは上記の微分方程式は成り立たない？

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

面白い話ですね～．
今度，学生のレポートに出したろか．
exp(400)～10^(174) 気圧という答を出しておしまい，何も考察コメントなし，
というレポートはいい点がつかないな．

さて，stomachman さんの計算をチェックしまして，間違いはないようです．
ついでに，地球の裏側までの到達時間は約４２分，
中心での速度は約7.9 km/s です．

heichan さんの言われているように，圧力が非現実的な値になるのは
理想気体の仮定がまずいんでしょうね．
もちろん，液体や固体になれば理想気体の仮定は成立しませんし，
気体でも圧力が高くなると成立しなくなります．

CO2 の臨界温度が36.1℃，臨界圧力は73気圧ですから，
100気圧あれば十分液化しています．
窒素は臨界温度が-147℃，臨界圧力は33.6気圧，
酸素は臨界温度が-119℃，臨界圧力は49.8気圧，
ですから，窒素と酸素は常温では圧力をかけただけでは液化しません．
もちろん，十分圧力かければ固体にはなります．
(常温でどれくらい圧力かければ固体になるかは今資料がありません)．

木星の中心は３万度，１億気圧などと言われているようで，
もうちょっと大きかったら恒星になっていたはず，
というような話も聞いたことがあります．

固体水素の金属化はまだ実験で観測されてはいないと思います．
必要な圧力は数百万気圧と見積もられているようです．

補足

siegmund先生、いつもお世話になります。
> 間違いはないようです．
チェックありがとうございます。つまり、井戸の浅い所では式は合っている。

> 地球の裏側までの到達時間は約４２分，
> 中心での速度は約7.9 km/s です．
井戸の中では重力加速度がhに比例するから、中が真空の井戸に投げ込んだ石ころの運動は、理想的なバネ（フックの法則が成り立つ軽いバネ）による運動と同じく単振動h=Rcosωtになる。従って、石ころの運動は地球の半径と同じ半径の軌道を飛ぶ人工衛星の運動 (x,y) = (Rcosωt, Rsinωt) のx成分と同じであり、裏側に達するのに要する時間は人工衛星が地球を半周する時間と同じ。最大の速さも人工衛星と同じ第一宇宙速度になる。面白いですね。

> CO2 の臨界温度が36.1℃，臨界圧力は73気圧ですから，
では深さ30kmほどの井戸を掘っておくだけで、二酸化炭素排出量の心配は要らなくなる。黙っていてもどんどん液化されるから。
　地熱が凄いでしょうから、この熱を利用して空気を強制循環させ、36度を保つ。汲み上げた熱でついでに発電してしまう。溜まったCO2を海溝にでも送り込むパイプラインが必要かな。一度作ってしまえば運転コストはゼロみたいな気がして...あああ、また何か間違えているんだ、きっと。

> 窒素は臨界温度が-147℃，臨界圧力は33.6気圧，
> 酸素は臨界温度が-119℃，臨界圧力は49.8気圧，
> ですから，窒素と酸素は常温では圧力をかけただけでは液化しません．
液体窒素が冷たいのには理由があったんですね。

> もちろん，十分圧力かければ固体にはなります．
つまり気体からいきなり固体になる。窒素の霜ができ、酸素の雪が降る。これは見てみたいなあ。

>木星の中心は３万度，１億気圧
凄まじい高圧高温ですね。これでもまだ核融合が点火しないというのも凄い。

> 固体水素の金属化...必要な圧力は数百万気圧
がんばれば何とかなる圧力なんでしょうか？