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次に示す線形空間の基底について
線形空間 W={a*exp(x)+b*exp(-x)|a,b∈R,x∈R} の基底について求めたいのですが求め方がよくわかりません。 ご存知の方がいらっしゃいましたら回答をお願いします。
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W={ae^x+be^{-x}|a,b∈R,x∈R} とすると 1 はWの基底となる y∈W とすると y=ae^x+be^{-x}となる a,b∈R,x∈Rが存在する ae^x+be^{-x}∈R だから W⊂R y∈R とすると a=y b=0 x=0 とすると ae^x+be^{-x}=ye^0-0e^{-0}=y だから y∈W R⊂W これとW⊂Rから ∴ W=R だから WはRと同じ1次元線形空間 任意の0でない実数は 基底となるから 1 はWの基底となる 1∈R=W 1∈W 任意の実数r∈R=Wに対して r*1=r∈R=W だから 1 はWの基底となる
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