- ベストアンサー
級数の値（関・ベルヌーイの冪和公式？）
級数の値に関する質問です。 出題された問題の通りではありませんが、例えば、 Σ(k=1~n) 1 / 9^k というような級数の値を求める問題があったとします。 色々調べた結果、「関・ベルヌーイの冪和公式」という公式を用いれば、 級数の値が求められるのではないか、というところまではたどり着きました。 しかし、「関・ベルヌーイの冪和公式」はまだ習っていませんので、 おそらく他の方法を使って級数の値を計算できるのではないかと思います。 どちらの方法でもけっこうですので、解き方をご教示いただければ幸いです。 どうぞよろしくお願い申し上げます。
- REX_IUDAEORUM
- お礼率100% (106/106)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数8
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
> この式が「等比数列」である、ということは、いまいち理解していないようでした ということは、多分「等比数列」自体をまだ理解していないんだろうなあ... > という公式が見つかりましたが、これで間違えありませんでしょうか？ まあその公式でよいのですが、そうは言ってもその公式の導出過程とか、適用方法とか、多分分かりませんよね？あなたが高校生なら、必ず授業で習うはずです。教科書にも絶対載っているはずです。ここで私が「はいそうです」といっても多分何の解決にもならないので、ちゃんと授業の進行具合を確認して、もし既に習ってしまっているようなら先生に聞きましょう。 もしくは、予習をしたいというのであれば、きちんとこの前の段階を（例えば「等比数列とは何か？」あたりから）復習しましょう。
その他の回答 (3)
- info222_
- ベストアンサー率61% (1053/1707)
Σ(k=1~n) 1/9^k =Σ(k=1~n) (1/9)^k=Σ(k=1~n) (1/9)(1/9)^(k-1)k =Σ(k=1~n) ar^(k-1) ... (a=1/9, r=1/9) = a Σ(k=1~n) r^(k-1) = a* [ (1 - r^n) / (1 - r)] =(1/9)* [ {1 - (1/9)^n} / {1 -(1/9)}] =(1/9)[{1-(1/9)^n}/(8/9)] =(1/8)(1-1/9^n)
お礼
nfo222_様 途中の計算式をありがとうございました。 =(1/9)[{1-(1/9)^n}/(8/9)] 以下がいまいち理解できませんでしたが、繰り返し解いてみて、理解できるようになりたいです。
- tmppassenger
- ベストアンサー率76% (285/372)
まだ「等比数列」とかいう用語も習ってませんか？ 多分高校2年かその位で習うと思います。もし習っていないようなら、取り敢えず「等比数列 和の公式」とかで検索すると良いです。 それとも、等比数列もその和の出し方も習ってはいるが、この問題が「等比数列の和になる」、ということが分からないということでしょうか。
お礼
お礼が遅くなりましたが、ご回答ありがとうございました。
補足
tmppassenger様 ご回答ありがとうございました。 「等比数列」という言葉は確かに習いましたが、この式が「等比数列」である、ということは、いまいち理解していないようでした。 ご教示いただいた通り、「等比数列の和の公式」を調べてみました。 Σ(k=1~n) ak = Σ(k=1~n) ar^k-1 = a Σ(k=1~n) r^k-1 = a* [ 1 - r^n / 1 - r] という公式が見つかりましたが、これで間違えありませんでしょうか？ まず、 Σ(k=1~n) 1 / 9^k = Σ(k=1~n) 9^-k と式を変形して、この先を計算していけばよいのでしょうか？ ちょっとこの先が見当が付きませんが…。
- tmppassenger
- ベストアンサー率76% (285/372)
与えられたものは、単なる等比数列の初項から第n項までの和ですよね。
お礼
失礼しました。 1 / 8 * ( 1 - 1 / 9 ^n ) の誤りです。
補足
tmppassenger 様 ご回答ありがとうございます。 多分ですが、上記の問題の解答は、他の解答例から察するに、 1/8 * ( 1 - 1 / 8 ^n ) というような値になるものと思われます。 ですが、どういう風に式を変形して、上記の解答に至るのかが理解できません。
関連するQ&A
- オイラーの公式を用いた無限級数の和について
以下の問題について、オイラーの公式を用いて解く方法をご教示下さい。 宜しくお願い申し上げます。 １）ｎを２以上の整数とする時、次の等式を証明しなさい。 ∑[k=1→ｎ－１]cos(kπ／ｎ)=０ ２）次の無限級数の和を求めなさい。 ∑[ｎ=1→∞]1／3^n・sin(2nπ／３）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベルヌーイ型の微分方程式を超幾何級数で解きたいです
ベルヌーイ型の微分方程式 y'+P(x)y=Q(x)y^n をガウス形に変換し、超幾何級数を用いて解く方法を教えてください。 よろしくお願いいたします。 P(x)=a/(x-b)、Q(x)=c/(x^2+bx)、n=-1/2 （a, b，c は定数） の場合を解こうとしています。 普通にベルヌーイ型で解こうとすると出来ない積分がでてきます。 そこで、ガウス型に変換し、超幾何級数で解く方法を模索しています。 教科書に載っているやり方で、級数を ｙ＝Σ(k=0,∞) ck x^(ρ+k) のように置いても、 また、式を更に微分し常2回微分方程式にしてガウス型への変換を試みていますが、できません。 やり方をご存知の方、いらっしゃいましたらご教示ください。 よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数列；無限等比級数の和の応用（？）問題
お世話になっております。 当方大学生ですが、高校生レベルの問題です。 ただし、答えがあるとは限りません。 等差数列と等比数列の積でできた数列の和を求める問題はよくありますよね（下式）。 S_n=Σ_[k=1～n] { k * (1/2)^k } これは等比数列の和の公式を導くときのように公比をかけたものrS_nを考えれば、ただの等比数列の和に帰着します。 ここからがしつもんですが、では、 調和数列と等比数列の積でできた数列の和は求めることができるでしょうか（下式）？ S_n=Σ_[k=1～n] { (1/k) * (1/2)^k } またその無限級数はどうでしょう？上のS_nは収束しそうですが、 その値は求まるでしょうか？あるいは√やe, piで表せない無理数となってしまうのでしょうか？ 詳しい方、自信のある方、どうか、よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 無限級数の和
一度削除されてしまいましたが、修正したので、もう一度させていただきます。次の二つの無限級数の和を求めよ、という問題がわかりません。ご協力お願いし ます！ (1)Σ[(n+k)!/{(n+k)-k}!・k!]・z^k (k=0～∞) (2)Σ[{(-1)^(k-1)}/k] (k=1～∞) (1)は第ｎ項まで順に書き出して、何か掛けて元のと上手く引けばいいのかと思ったのですが、まず何を掛ければいいのかよくわかりません。第ｎ項までの数列の和を求めて無限大まで飛ばすという考え自体が間違っているのかもしれませんが・・・ (2)これは発散するような気がするんですが、発散するという確証がつかめません・・・ 解法のヒントでもいいので教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 和分の公式
和分について２点わからないところがあるので質問します。 下降階乗冪として、[n]r_ =n(n-1)(n-2)(n-3)・・・(n-r+1)・・・(1) (1)に自然数kのとき関数f(k)に対して、差分1 f(k+1)-f(k)を計算すると、r[n](r-1)_ が得られ [k]r_ の差分1とr[k](r-1)_ の両辺をΣ(k=0→n-1)をとると、Σ(k=0→n-1){[k+1]r_ -[k]r_ }= rΣ(k=0→n-1)[k](r-1)_ となり。 左辺は([1]r_-[0]r_)+([2]r_-[1]r_)+([3]r_-[2]r_)・・・+([k-1]r_-[k-2]r_)+([k]r_-[k-1]r_)より、[k]r_-[0]r_となるので、[k]r_-[0]r_=rΣ(k=0→n-1)[k](r-1)ここからがわからない所です。 本では、上記の等式から-[0]r_を除き、r_を(r+1)_に書き換えて、 Σ(k=0→n-1)[k](r)=[n](r+1)_/(r+1) が導かれたように書かれていたのですが、-[0]r_はなぜ除かれるのでしょう。 インターネットで調べたところ[0]r_は積分定数のようなものであり、 下降階乗冪の和分はべき乗の積分のよう。と書かれていました。 自分はr>0のとき、[0]r_=0(-1)(-2)・・・(0-r+1)＝0 r≦0のとき[0]r_計算できず。で[0]r_は消すことができると思いました。 次に上昇階乗冪として[n]r~=n(n+1)(n+2)(n+3)・・・(n+r-1)・・・(2)と書きます。 (2)に差分2 f(k)-f(k-1)を計算すると、r[n](r-1)~が得られ。 [k]r~ の差分2とr[k](r-1)~ の両辺をΣ(k=0→n)をとると,Σ(k=0→n){[k]r~-[k-1]r~}= rΣ(k=0→n)[k](r-1)~ となり上記のような計算から、左辺は、[n]r~-[-1]r~となります。また本では、Σ(k=0→n)[k]r~=[n](r+1)~/(r+1)・・・(3)が導かれたように書かれていました。 ここでも自分は、[-1]r~は r=1のとき-1、r>1 のとき -1×0×1×2×3 ・・・ ×(-1+r-1)より0、r≦0のとき計算できない。しかしr=1のとき、(3)について{[n](1+1)~-[-1](1+1)~}/(1+1)は[-1]2~=0より[n]2~/(1+1)となり。 Σ(k=0→n)[k]1~=[0]1~+[1]1~+[2]1~・・・+[n]1~ =0+1+2・・・+n=n(n+1)/2と等しくなるので、(3)はr>0で成立すると思いました。 どなたか-[0]r_と-[-1]r~が消される理由が間違っていたら、訂正お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 無限級数の和について（数研のやりかたで）
問 無限級数 １－１／３＋１／２－１／３＾２＋１／２＾２－１／３＾３＋・・・・の和を求めよ。という問題なのです。まず部分和S（ｎ）を求めるのはわかるのですが、なぜS（２ｎ）とS（２ｎ－１）とに分けなければいけないのですか？また、S（２ｎ）とS（２ｎ－１）はそれぞれなにを示しているのでしょうか？見た感じS（２ｎ）は二つの数列を表している、つまりS（２ｎ）の極限が３／２になります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列と級数の和
大学1年程度の行列と級数の和の問題なのですが 途中まで解けたのですが，その後進むことができません＞＜ どなたか解説お願いします。 問題は A=(0 1) I=(1 0) （A,Iは行列） (1 0) (0 1) Sn=I+Σ(k=1→n){(πA)^k/k!} とするとき，lim(n→∞)Sn を求めよ。 という問題で， A^n=A (nが奇数) =I (nが偶数) Sn=(1+π^2/2!+π^4/!+…)I+(π+π^3/3!+π^5/5!+…)A と，ここまではわかるのですが，このIとAの係数の収束値がわかりません。 それとも，このようにするのが間違ってるのでしょうか…。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
詳しいアドバイスをありがとうございました。 通信制の大学なので、なかなか先生に質問できない状態なんですよ。 使っているテキストの練習問題等も、途中の計算過程が明記されておらず、 なかなか苦労しています。 高校のテキストなどにも載っているとのことですから、「等比数列」の部分を熟読して、理解できるようにがんばります！