級数の値（関・ベルヌーイの冪和公式？）

質問

級数の値に関する質問です。

出題された問題の通りではありませんが、例えば、

　Σ(k=1~n) 1 / 9^k

というような級数の値を求める問題があったとします。

色々調べた結果、「関・ベルヌーイの冪和公式」という公式を用いれば、
級数の値が求められるのではないか、というところまではたどり着きました。
しかし、「関・ベルヌーイの冪和公式」はまだ習っていませんので、
おそらく他の方法を使って級数の値を計算できるのではないかと思います。

どちらの方法でもけっこうですので、解き方をご教示いただければ幸いです。

どうぞよろしくお願い申し上げます。

回答No.4

tmppassenger · ベストアンサー

> この式が「等比数列」である、ということは、いまいち理解していないようでした
ということは、多分「等比数列」自体をまだ理解していないんだろうなあ...

> という公式が見つかりましたが、これで間違えありませんでしょうか？
まあその公式でよいのですが、そうは言ってもその公式の導出過程とか、適用方法とか、多分分かりませんよね？あなたが高校生なら、必ず授業で習うはずです。教科書にも絶対載っているはずです。ここで私が「はいそうです」といっても多分何の解決にもならないので、ちゃんと授業の進行具合を確認して、もし既に習ってしまっているようなら先生に聞きましょう。

もしくは、予習をしたいというのであれば、きちんとこの前の段階を（例えば「等比数列とは何か？」あたりから）復習しましょう。

お礼

詳しいアドバイスをありがとうございました。
通信制の大学なので、なかなか先生に質問できない状態なんですよ。
使っているテキストの練習問題等も、途中の計算過程が明記されておらず、
なかなか苦労しています。

高校のテキストなどにも載っているとのことですから、「等比数列」の部分を熟読して、理解できるようにがんばります！

回答No.3

info222_

Σ(k=1~n) 1/9^k
=Σ(k=1~n) (1/9)^k=Σ(k=1~n) (1/9)(1/9)^(k-1)k
=Σ(k=1~n) ar^(k-1) ... (a=1/9, r=1/9)
= a Σ(k=1~n) r^(k-1)
= a* [ (1 - r^n) / (1 - r)]
=(1/9)* [ {1 - (1/9)^n} / {1 -(1/9)}]
=(1/9)[{1-(1/9)^n}/(8/9)]
=(1/8)(1-1/9^n)

お礼

nfo222_様

途中の計算式をありがとうございました。

=(1/9)[{1-(1/9)^n}/(8/9)]

以下がいまいち理解できませんでしたが、繰り返し解いてみて、理解できるようになりたいです。

回答No.2

tmppassenger

まだ「等比数列」とかいう用語も習ってませんか？ 多分高校2年かその位で習うと思います。もし習っていないようなら、取り敢えず「等比数列 和の公式」とかで検索すると良いです。
それとも、等比数列もその和の出し方も習ってはいるが、この問題が「等比数列の和になる」、ということが分からないということでしょうか。

お礼

お礼が遅くなりましたが、ご回答ありがとうございました。

補足

tmppassenger様

ご回答ありがとうございました。

「等比数列」という言葉は確かに習いましたが、この式が「等比数列」である、ということは、いまいち理解していないようでした。

ご教示いただいた通り、「等比数列の和の公式」を調べてみました。

　Σ(k=1~n) ak
= Σ(k=1~n) ar^k-1
= a Σ(k=1~n) r^k-1
= a* [ 1 - r^n / 1 - r]

という公式が見つかりましたが、これで間違えありませんでしょうか？

まず、

　Σ(k=1~n) 1 / 9^k
= Σ(k=1~n) 9^-k

と式を変形して、この先を計算していけばよいのでしょうか？

ちょっとこの先が見当が付きませんが…。

回答No.1

tmppassenger

与えられたものは、単なる等比数列の初項から第n項までの和ですよね。

お礼

失礼しました。

　1 / 8 * ( 1 - 1 / 9 ^n )

の誤りです。

補足

tmppassenger　様

ご回答ありがとうございます。

多分ですが、上記の問題の解答は、他の解答例から察するに、

　1/8 * ( 1 - 1 / 8 ^n )

というような値になるものと思われます。

ですが、どういう風に式を変形して、上記の解答に至るのかが理解できません。