ある物体Pが点Oを中心に半径rの円周上を運動速度の

質問

ある物体Pが点Oを中心に半径rの円周上を運動速度の大きさをvとすると、加速度のOP方向成分の大きさ(向心加速度)を求めよ。

答えはmv^2/rです、計算過程が分からないので教えていただきたいです。

回答No.3

ddtddtddt · ベストアンサー

地道に行きますか(^^;)。高校の微積とベクトルはわかってるとします。

　まず円周上の話なので、(x，y)＝r(cosθ，sinθ)で表します。θは時間tの関数です。速度は位置を時間で微分すればOKなので、

　　(dx/dt，dy/dt)＝r(－sinθ，cosθ)×dθ/dt　　　(1)

　円周に沿った運動速度の大きさVが与えられているので、(1)の円周方向成分を計算します。点r(cosθ，sinθ)における円周の接線方向は明らかに、(－sinθ，cosθ)なので、これと(1)の内積を取り、

　　r(sin^2θ＋cos^2θ)×dθ/dt＝r×dθ/dt＝V

これより、

　　dθ/dt＝V/r　　　(2)

です。加速度は(1)をもう一回微分すれば得られます。

　　(d^2x/dt^2，d^2y/dt^2)＝r(－cosθ，－sinθ)×(dθ/dt)^2
　　　　　　　　　　　　＋r(－sinθ，cosθ)×d^2θ/dt^2　　　　(3)

　(3)に(2)を代入すれば、

　　(d^2x/dt^2，d^2y/dt^2)＝(－cosθ，－sinθ)×V^2/r
　　　　　　　　　　　　＋r(－sinθ，cosθ)×d^2θ/dt^2　　　　(4)

となります。角加速度d^2θ/dt^2は不明ですが、とにかく結果を出しちゃいましょう。

　OP方向は明らかに(cosθ，sinθ)なので、これと(4)の内積を取ると、

　　(－cos^2θ－sin^2θ)×V^2/r＋r(－cosθsinθ＋cosθsinθ)×d^2θ/dt^2
　　＝－V^2/r　　　　(5)

が得られます。そして「大きさ」なので、V^2/r。

　ちなみにmV^2/rは向心力の大きさ。方向は(5)よりPO方向。

回答No.2

f272

http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/enn/kousinn.html
これでも見て自分で納得してください。

回答No.1

akauntook

この問題で、答えがmv^2/rとなることはないです。

なぜなら、問題でmについての記述がないから。
物理学なら質量はmで表すのが一般的ですが、問題に記述があります。

カテゴリーは数学ですし、特に使用する変数についての断り書きは重視すべきです。

補足

答えはv^2/rです、申し訳ないです