三次方程式の問題です。

質問

次の問題を教えてください。
３次方程式 x^3+3(k-1)x^2-12kx-8=0 が２重解、または３重解を持つような実数の定数kの値をすべてもとめよ。

です。どうも途中で計算が合わなくなってしまうので、わかりません。
よろしくお願いします。

回答No.4

taropoo

ちょっと誤解してた所があったようで、ご免なさいね。

お詫びにと言うわけではないのですが、別解をひとつ。

f(x)=0の３つの解をα,β，γとすると、f(x)のx^3の係数は１だから

f(x)=(x-α)(x-β)(x-γ) = x^3 - (α+β+γ)x^2 + (βγ+γα+αβ)x - αβγ

これと元の式の係数を比較すると

α+β+γ = -3(k-1)　　　　…(i)
βγ+γα+αβ = -12k　　　　…(ii)
αβγ = 8　　　　…(iii)

となります。これを使うと

(I)３重根の時
α=β=γより

3α = -3(k-1)　　　　…(i)'
3α^2 = -12k　　　　…(ii)'
α^3 = 8　　　　…(iii)'

(iii)'より、α^3 - 8 = (α-2)(α^2+2α+4) = 0
α^2+2α+4 = (α+1)^2 + 3 > 0 よりα = 2、これを(i)'へ代入すると
3*2 = -3(k-1)　
∴k = -1　　　　…(iv)

これは(ii)'をも満たすので求めるkの条件である。

(II)２重根の時
α=β≠γ, k ≠ -1より

2α+γ= -3(k-1)　　　　…(i)''
2αγ+α^2 = -12k　　　　…(ii)''
α^2γ = 8　　　　…(iii)''

(i)''よりγ = -2α-3(k-1)　　　　…(v)
これを(ii)''へ代入して
2α{-2α-3(k-1)}+α^2 = -12k、整理して(α-2)(α+2k) = 0　∴α=2, -2k

i)α=2の時
(iii)''よりγ=2、これはα≠γに反する。

ii)α=-2kの時
(v)よりγ = -2(-2k)-3(k-1) = k+3　　　　…(vi)
よってα=-2kと(vi)を(iii)''へ代入すると
(-2k)^2(k+3) = 8、整理して(k+1)(k^2+k-2)=0

k≠-1よりk^2+k-2=0 ∴k = -1±√3
このときα = -2k = -2干2√3), γ = 2±√3　（複号同順）

以上よりf(x)=0は
k=-1の時３重根x=2をもち、
k=-1±√3のとき２重根x = -2干2√3)と他の解x = 2±√3（複号同順）を持つ。　　　　（解答終）

この解法のいい所は、値をいちいちf(x)に代入してf(x)=0を確認する必要のない事です。
最初にあのようにα,β，γを定義した時点でこれらはf(x)=0を満たしているからです。