ベルトランの定理を教えてください

質問

周回の軌道を太陽系の惑星が進行するのは距離に逆二乗の万有引力が働くからだそうです。
1年の旅で地球は周回軌道上の特定点に戻ります。元日や春分や夏至などその特定点、特定日の代表です。
　そういう線をたどる軌道が始まりと終わりが同一点になるとそういう場合を「閉じた軌道」というそうです。
　そしてベルトランという人が閉じた軌道をとる力にどのような種類が許されているか証明したそうです。バネの振動も振り子の振動もそういう閉じた軌道だそうです。
　そこまで知ったのですが、もう少し知りたいのです。
　書籍やインターネットで検索できるアドレス、そして出来ればこのOKWAVEで教えてください。よろしくお願いします。

回答No.4

sunabo

ベルトランの定理おもれーな。べんきょうすっぺ。
参考URLにベルトランの定理の英訳論文のリンクあった。
下記
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.670.8905&rep=rep1&type=pdf

参考URL：

http://adhara.hatenadiary.jp/entry/2017/02/11/233000

お礼

ベルトランの原著がブラジルでフランス語から英訳されたのかな。ありがとうございます。意外と全体は短いんですね。でももっと簡単で核心をついたのがないかな。

回答No.3

sunabo

no.2のつづき。
アステロイドとかさ。参考URL参照。y^(2/3)+x^(2/3)=a^(2/3)
これ4か所すべらかじゃないけど、いちおう、周期的な感じ。
軌跡は位置だから、2回微分して、力が定数になってくれる感
じじゃないと、ベルトラン困っちゃうって感じの定理なんじゃ
ないかな。

参考URL：

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%AD%E3%82%A4%E3%83%89_(%E6%9B%B2%E7%B7%9A)

お礼

回答ありがとう
残念ながら回答は的を得ていない。たぶん不正解
たぶんアステロイドは力の向きが一定でない。だから不正解。楕円軌道もアステロイドも平面に閉じた周回軌道を描くがベルトランは力の向きが、その向きの線上に常に同じ点を含むときの場合だけを探しているのかもしれない。

　たぶんココを回答者ははやとちりしている。万有引力(重力)は高度一定なら定数でも、楕円軌道の位置座標について２回微分の結果は定数ではない。でしょ。力は定数ではない。引力は位置の引数であらわした関数だ。

　またアステロイドは力の大きさが２回微分で定数にならないだろうが、地球と太陽の楕円軌道でも力の大きさは２回微分の結果は定数ではない。定数になるのは真円軌道だけだ。それはクーロン型の力で描く軌道においてもやはり力の大きさが２回微分で定数にならない。だから回答は不正解。

　楕円軌道では座標位置にあたるところまでの径の大小で引力が変化するのだからアステロイドと同様の性質だ。だから力が定数で表せるか否かは判断基準に適さない。

　楕円軌道もアステロイドも平面に閉じた周回軌道を描くがベルトランは力の向きが、その向きの線上に常に同じ点を含むときの場合だけを探しているのかもしれない。平面上の閉じた周回軌道の場合クーロン力の形式だけだって。
　アステロイドでは４角４すみで接線がなく不連続点になる。４角４すみでは不連続なので微積分ができない。すると力の大きさも定まらない。これも線形関係だけの世界で語る制約が物理学にあるので適さない。物理学の問題として適さない。

　ところでスピログラフという歯車でお絵かきをする美術遊びの道具が、アステロイドらしき曲線も描ける。
　スピログラフで描ける曲線は力の向きに中心という特定点を通る性質がない代わりに別の性質がありそうで面白い。関数関係があるんだろうな。

回答No.2

sunabo

検索ワード　ベルトラン 閉じた軌道　周期　googleで検索。
で、5個目のやつが参考URL。

参考URLより引用します。　
ーーーー引用はじめーーーー
　この結果は，「中心力のなかで有界な軌道が常に周期軌道とな
　るのはケプラー運動および等方調和振動子に限られる」ことを
　示した古典的なベルトランの定理を，ポテンシャルが同次式と
　いう限定のもとで再現したものである．
ーーーー引用おわりーーーー

うへー、しんどいpdfですな。no.2には全体が理解できませんでし
た。質問にも答えられません。
2乗だと周回軌道が取れるって感じみたい。0乗とか2乗を超える
を周回軌道が取れないみたいな感じ・・・かなぁ。

y^2+x^2=4のグラフはいい感じに円で周回軌道って感じだけど、
y^3+x^3=8のグラフはうーんつながらん、てな感じになるってこ
とちゃうかなぁ。添付画像みたいに。あと、下記URLの陰関数で
も描画しちゃうサイトすごくたのしい。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%5E2.5%2Bx%5E2.5%3D5.65685

参考URL：

http://www.riam.kyushu-u.ac.jp/fluid/meeting/19ME-S2/papers/Article_No_17.pdf

お礼

http://www.riam.kyushu-u.ac.jp/fluid/meeting/19ME-S2/papers/Article_No_17.pdf
はむずかしいな。でもよく見つかった。ありがとうございます。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%5E2.5%2Bx%5E2.5%3D5.65685
はマセマティカというソフトを売っている会社の入門版ですね。高校大学生講義レベルのマセマティカの一部を抜き出して作ったグラフ専門の入門版だな。自分の持っていたマセマティカがウィンドウズＸＰの終了に沈没させられて一緒に使えなくなったので困っていたところでした。マセマティカってすごいんだけど高額だから

回答No.1

hue2011

非常に単純な説明は、大砲をぶっぱなす場合です。
どんと発射した弾はどうなるかというと、当然どこかに落ちます。
１００メートル先に落ちるか５００メートル飛ぶかは、大砲のパワー次第です。
地面から撃った弾は必ず地面に帰ってきますね。

これをどんどんパワーをあげて考えて行きます。
何千キロも飛ぶようにしてどーんと発射します。そうすると、イギリスまでいって「ろんどーん」と落ちるかもしれません。
やっぱり地面に帰って来ました。

もっとどーんとあげるようにしたとします。空気抵抗で燃えるとか何もなしに宇宙空間に飛ばすとします。
こいつはどうなるか。
地球のまわりをぐるぐる回るんじゃないでしょうか。
だけど、遠くなったり近くなったりするでしょう。
これを軌道に入ったと言います。
遠い何百光年先の星までとんでいったりはしないのです。

なぜそういうことがおきるか。

自然数nがあるとした場合その2倍の2nとの間には必ず素数が存在しているんじゃないか、という考え方があります。
それをベルトランの仮説といい、定理とは呼びません。
これを証明したのがチェビシェフなのでチェビシェフの定理と呼びます。
チェビシェフはガンマ関数を使い、むつかしくむつかしく証明しまして、これは自分の好みだから構わないのですが、エルデシュというのがパーでも分かる証明方法を発表しました。
そうでなければ矛盾すんじゃん、というぐれた証明法です。

何を言っているかというと、ものはもとの場所に帰ってきたがるんだということです。
だから大砲の弾は地球に戻りたがるのです。

お礼

ベルトランの定理と無関係です。