図形の面積を求める問題です

質問

時計回りの各矩形の隅をABCDと名付け、辺ABより上部右の任意の位置に点Eを取り、A、B、C及びDとを直線で結ぶ。この時、DとEを結んで出来た直線ABとの交点をFとする。この時できた台形DFBCの面積は50cm2、三角形AFE及び EBCの面積はそれぞれ18cm2及び 8cm2であった。この場合の三角形FEBの面積はいくらになるか。という問題なんですが解法の手がかりがまったく思いつきません。助けてくだっさい。
　E点の位置と三角形AEDと三角形EBCの面積比の間に関係がありそうなのですが全く見当が付きません助けてください。
（聞くところによると、数学オリンピックの問題だそうです）

回答No.8

staratras

No.6&7です。もっと簡単な解法がありました。
長方形の短辺・長辺をa,b、Eから辺DCの延長線上に下ろした垂線の高さをhとする。
また求める三角形EFBの面積をx(cm2)とする。

三角形EDCの面積を考えると bh/2=50+8+x bh/2=58+x …(1)
三角形EABの面積を考えるとb(h-a)=18+x (bh-ab)/2=18+x…(2)　
(1)(2)を辺どうし引くと　ab/2=40 したがって　ab=80

台形BFDCの面積は(BF+DC)・BC/2で、これが長方形の面積の50/80=5/8　だから
(BF+b)a/2=(5/8)ab が成り立つ。これを解くとBF=b/4
したがって　AF=b-b/4=3b/4 だから　AF:BF=3:1

三角形AFEと三角形FEBは高さが同じだから、面積は底辺の比に比例する。
三角形FEBの面積xは　x=18×BF/AF=18×1/3=6　答え６(cm2)

回答No.7

staratras

No.6です。誤記を訂正します。失礼いたしました。

誤：線分OE（=DE)の式は　y=px/q であるから
正：線分OE（=DE)の式は　y=qx/p であるから

回答No.6

staratras

あれこれやってみましたが、非常に単純な座標幾何の手法がかえって計算が楽でした。

下の図のように長方形ABCDを作り、原点OがDと一致するように定める。長方形の短辺・長辺をそれぞれa,bとし、長方形外の点Eの座標を(p,q)とする。(図の面積は正確ではない）

線分OE（=DE)の式は　y=px/q であるから、y=a を代入して　長方形の辺ABとの交点はF(ap/q,a)…(1)となる。

三角形EBCの面積が8(cm2)だから　a・(p-b)/2=8 より　p=(16/a)+b …(2)

また三角形AFEの面積が18(cm2)だから　(ap/q)・(q-a)/2=18
これに(2)を代入して整理すると　q=a(16+ab)/(ab-20) …(3)

(2)(3)を(1)に代入すると　AF=ap/q=(16+ab)・(ab-20)/a(16+ab)=b-20/a

台形DFBCの面積は長方形ABCDの面積から三角形AFDの面積を引いたもので50(cm2)だから
ab-(a(b-a/20)/2)=50 ab/2+10=50 よって　ab=80　
(3)に代入すると　q=8a/5

三角形FEBの面積はBF=20/a などから
20/a・(q-a)/2=20/a・(8a/5-a)/2=20/a・(3a/5)/2=6 答え６(cm2)

回答No.5

noname#227653

Eから辺ＢＣと平行に線を引きます。この線と辺ＡＢを右に延長した線との交点をＧ、辺ＤＣを延長した線との交点をＨとします。長方形ＡＢＣＤの右側に長方形ＢＣＨＧが接しているかたちになります。

すると、三角形ＢＧＣの面積は三角形ＢＥＣの面積と等しいことがわかりますね。辺ＢＣを底辺とすると、底辺も高さも同じなのですから。ですから三角形ＢＧＣは８cm2、長方形ＢＣＨＧは16cm2となります。

また、長方形ＡＤＨＧの面積は三角形ＡＤＥの面積の２倍であることもわかります。
三角形ＡＤＥと三角形ＡＤＧは底辺(辺ＡＤ)も高さも同じなので、面積も同じです。そして長方形ＡＤＨＧの面積は三角形ＡＤＧの面積の２倍なのですから、三角形ＡＤＥの２倍でもあるのです。

ここで三角形ＡＤＦの面積をアとすると、三角形ＡＤＥはア＋18cm2ですね。
とすると、長方形ＡＤＨＧの面積は（ア＋18）×２cm2だということになりますね。
そして長方形ＡＤＨＧの面積はア＋50＋16cm2とも表せますね。
つまり（ア＋18）×２＝ア＋66という式が書けます。
これを解くとアは30cm2となります。

長方形ＡＢＣＤにおいて、三角形ＡＤＦと台形ＦＤＣＢの面積比が３：５なので、辺ＡＦ：辺ＦＢ＋辺ＤＣの長さの比も３：５です。そして辺ＡＢと辺ＤＣの長さが等しいことを考えあわせると、辺ＡＦ：辺ＦＢ：辺ＤＣの長さの比は３：１：４となります

三角形ＡＦＥと三角形ＦＢＥを比べると、底辺が３：１で高さが同じなので、面積の比も３：１ですね。そして三角形ＡＦＥが18cm2なのですから、三角形ＦＢＥは６cm2ということになります。

いかがでしょうか。間違えている点やわかりにくい点がありましたら補足をつけて下さい。

回答No.4

MSZ006

＃１です。
またもやミスを発見しました。

＞（左辺）＝（右辺）なので、
＞18+(1-s)ab/2-8=8

の箇所は、
（左辺）＝（右辺）なので、
18+(1-s)ab/2-8 = ab/2
です。

回答No.3

MSZ006

#1です。
ご参考までに図をアップします。
うまく見れないかもしれませんがご容赦ください。

回答No.2

MSZ006

すみません。＃1です。
最初の置き方を間違えました。
AD=a、AB=b とおきます。が正しいです。失礼しました。

回答No.1

MSZ006

AB=a、DC=bとおきます。
また、AF=(1-s)b、FB=sbとおきます(0<s<1)。

台形DFBCの面積が50なので、
(sb+b)a/2=50

整理して、
(s+1)ab=100　　・・・(1)

Eから辺AD方向に垂線を下ろし、その長さをtbとおきます(t>1)。
すると、Eから辺BC方向に下ろした垂線の長さは(t-1)bとおけます。

そうすると、
三角形ADE　－　三角形BCE　＝　atb/2　－　a(t-1)b/2
という式が作れます。

右辺を整理すると（右辺）＝ ab/2

一方、左辺のほうの各項を見てみると、
三角形ADE=三角形AFE＋三角形ADF=18+a(1-s)b/2
三角形BCE=8

よって（左辺）＝18+(1-s)ab/2-8

（左辺）＝（右辺）なので、
18+(1-s)ab/2-8=8

sについて整理すると、
s=20/ab　　・・・(2)

(2)を(1)に代入して、
(20/ab +1)ab=100

整理すると、
ab=80　・・・(3)

(3)を(2)に代入して、
s=20/80 = 1/4
よって、点Fは辺ABを3：1に内分する点であることが分かります。
したがって三角形FBEは三角形AFEと高さが共通で底辺が1/3になっていることになり、面積は三角形AFEの1/3であることが分かります。
故に、三角形FEBの面積は6となります。