a⁵+b⁵へa=(√8+√7)/3,b=(√6-√

質問

a⁵+b⁵へa=(√8+√7)/3,b=(√6-√2)/3を代入するとき、工夫して計算する方法を教えて下さい。
ご回答よろしくお願いします。

回答No.1

staratras · ベストアンサー

通常この種の計算問題では、a^5+b^5に直接代入せずにa^5+b^5を(a+b)とabの式で表した式に代入しますが、この問題ではa+bやabが簡単にならないので、かえって面倒になるでしょう。

そのまま代入する方が容易ですが、計算ミスを防ぐ工夫のやりようはあります。√整数の偶数乗が整数になることを利用します。

(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
=(a^4+10a^2b^2+5b^4)a+(b^4+10a^2b^2+5a^4)b だから
a=√8、 b=√7　を代入すると
(√8+√7)^5=(64+10・8・7+5・49)√8+(49+10・8・7+5・64)√7
=(64+560+245)√8+(49+560+320)√7
=869√8+929√7=1738√2+929√7

同様に
(a-b)^5=(a^4+10a^2b^2+5b^4)a-(b^4+10a^2b^2+5a^4)b だから
a=√6、b=√2　を代入すると
(√6-√2)^5=176√6-304√2
したがって{(√8+√7)/3}^5＋{(√6-√2)/3}^5=（1738√2+929√7+176√6-304√2)/3^5
=(1434√2+176√6+929√7)/243