分数関数の問題について

質問

2/(x+2)≧x+3
の答えはx≦-4,-2≦x≦-1で合ってますか？
違っていたら解説お願いします。
また、この問題の≧が≦だったらどういう答えになるかも教えて下さい。

回答No.4

noname#221359

すみません、no.1の者ですが、回答が間違っていたことをお許しください。御二方に感謝申し上げます。

回答No.3

noname#222520

x+2≠0であるから、x+2＞0(x＞-2)のときとx+2＜0(x＜-2)のときに場合分けします。

・x+2＞0(x＞-2)のとき
2/(x+2)≧x+3の両辺にx+2を掛けて、
2≧(x+3)(x+2)（不等号の向きは変わりません。）
2≧x^2+5x+6
x^2+5x+4≦0
(x+4)(x+1)≦0
これから、-4≦x≦-1
これと、大前提であるx＞-2の共通範囲だから、－2＜x≦-1

・x+2＜0(x＜-2)のとき
2/(x+2)≧x+3の両辺にx+2を掛けて、
2≦(x+3)(x+2)（不等号の向きは変わります。）
2≦x^2+5x+6
x^2+5x+4≧0
(x+4)(x+1)≧0
これから、x≦-4またはx≧-1
これと、大前提であるx＜-2の共通範囲だから、x≦-4

この問題の≧が≦だった場合

・x+2＞0(x＞-2)のとき
2/(x+2)≦x+3の両辺にx+2を掛けて、
2≦(x+3)(x+2)（不等号の向きは変わりません。）
2≦x^2+5x+6
x^2+5x+4≧0
(x+4)(x+1)≧0
これから、x≦-4またはx≧-1
これと、大前提であるx＞-2の共通範囲だから、x≧-1

・x+2＜0(x＜-2)のとき
2/(x+2)≦x+3の両辺にx+2を掛けて、
2≧(x+3)(x+2)（不等号の向きは変わります。）
x^2+5x+4≦0
(x+4)(x+1)≦0
これから、-4≦x≦-1
これと、大前提であるx＜-2の共通範囲だから、-4≦x＜-2

回答No.2

info222_

・2/(x+2)≧x+3
> の答えはx≦-4,-2≦x≦-1で合ってますか？
間違っています。
左辺の分母≠0からx≠-2なので正解は
「x≦-4,-2<x≦-1」です。

[解答]
(x+2)は分母にあるので　(x+2)≠0 → x≠-2
x≠-2なので 不等式の両辺に (x+2)^2>0 を掛けても不等号の向きは変わらない。
2(x+2)≧(x+3)(x+2)^2
(x+3)(x+2)^2-2(x+2)≦0
(x+2)(x^2+5x+6-2)≦0
(x+2)(x^2+5x+4)≦0
(x+2)(x+1)(x+4)≦0
x≠-2を考慮して
∴ x≦-4, -2<x≦-1　...(前半答)

>この問題の≧が≦だったらどういう答えになるかも教えて下さい。
・2/(x+2)≦x+3
[解答]
(x+2)は分母にあるので　(x+2)≠0 → x≠-2
x≠-2なので 不等式の両辺に (x+2)^2>0 を掛けても不等号の向きは変わらない。
2(x+2)≦(x+3)(x+2)^2
(x+3)(x+2)^2-2(x+2)≧0
(x+2)(x^2+5x+6-2)≧0
(x+2)(x^2+5x+4)≧0
(x+2)(x+1)(x+4)≧0
x≠-2を考慮して
∴ -4≦x<-2 , x≧-1　...(後半答)

回答No.1

noname#221359

参考：「2次不等式の解き方」http://mathtrain.jp/quadineq
2/(x+2)≧x+3　
まず、この式の意味を考えます。この式は左辺と右辺で1つの式なので、添付された写真のように、片方が反比例の式、もう片方が1次関数の式とすることはできません。
※追記：グラフで解けそうですが、多分直接解けないと思いますすみません・・・。
最初に式を整理してやる必要があります。

2≧(x+3)(x+2)　※分母を払う
(x+3)(x+2)≦2 ※省略可　見やすさのため
x^2 +5x + 6 - 2≦ 0　※移項
x^2 +5x + 4 ≦ 0
(x+1)(x+4) ≦ 0
まで来たところで、どう考えるかで詰まったと思うのですが、
方法１：
理由は考えずにひとまず暗記していた不等号の向き（参考リンク参照）に従って
-4≦x≦-1　ですかね。
(x+1)(x+4) = 0を解くと、x=-4,-1になることは分かっていると思いますので、
悩むとしたら-4≦x≦-1かx≦-4、-1≦xですね。
で、不等号の向き忘れた、分からない～助けてドラ〇もんってなったら、
ドラ〇もん『簡単な整数値を代入してやればいいです。』
の〇た『お前誰だ！』
x=-5を代入してやると、(-5+1)(-5+4)=(-4)×(-1)=4 ≧ 0 →不適なので、
x≦-4は不適であり、-4≦x≦-1が正解になります。

方法２：グラフを描く
(x+1)(x+4) ≦ 0
y = (x+1)(x+4)
y = 0　※x軸
2次関数の式は、x軸との接点がx = -4, -1で、明らかに下に凸のグラフなので、
この下に凸のグラフがx軸よりも下の範囲が求める範囲になります。
ということで、-4≦x≦-1が正解になります。