高校物理 変化する磁場による誘導起電力

質問

高校物理の範囲で分からない問題があったので質問させていただきます。

図のようにx-z平面上に一辺lの正方形コイルＡＢＣＤが置いてあります。y方向の磁場はB=axだとして、コイルをx軸正方向に速さvで動かします。コイルの全体がx>0の範囲に存在するとき、コイルに発生する誘導起電力の大きさを求めたいのですが、上手くいきません…。
コイルが時間Δtの間にx軸正方向にΔx進んだとき(つまりΔx/Δt=v)を考え、その前後でのΔＢ/Δtを調べるとΔＢ/Δt＝alvとなりました。そうすると|V|=ΔΦ/Δt=Δ(BS)/Δt=alv・l^2=al^3v となってしまいます。（Ｓはl^2で一定と考えたため。）しかし答えはal^2vのようでした。
どこが間違っているのでしょうか？
また、よろしければ、積分で求める考え方についても計算式を教えていただければありがたいです。

回答No.1

foobar · ベストアンサー

「その前後でのΔＢ/Δtを調べるとΔＢ/Δt＝alv」「|V|=ΔΦ/Δt=Δ(BS)/Δt=alv・l^2」の流れが変ではないでしょうか。
Δx移動したときの磁束の増減ΔΦは、
（BCの位置の磁束密度 a(X+l/2)に変化分の面積 lΔｘをかけたもの）-(ADの位置の磁束密度 a(X-l/2)に変化分の面積 lΔｘをかけたもの)
=lΔx(al)=al^2Δx　となり、
V=ΔΦ/Δt=ΔΦ/Δx *Δx/Δt=al^2v
になるかと思います。

積分を使う場合には、Φ=∫Vds=∫a(X+x)ldx (積分範囲は-l/2からl/2)=al^2X
v=dΦ/dt=dΦ/dX dX/dt=al^2 v という形になるかと思います。

お礼

分かりやすい回答ありがとうございました！