水銀柱 力学

質問

水銀柱を傾けても水銀の高さは変わらない、と書いてあったので、確かめて？みたのですが、上手く行きません。
上向きの矢印：大気圧によって、ガラス管内部にある水銀が押される力
下向きの矢印：重力
水銀がガラス管から受ける垂直抗力は、相殺されるため、図に記載しませんでした。
液面から水銀柱までの高さを左をh、右をh'、ガラス管の底面積をS、右のガラス管の傾きをθ、水銀の密度をσとします。
左：F=σShg
右：上の青い部分を下の青へ移動すれば、高さh'/sinθの円柱になりますから、したがって、F=σSh'/sinθ×g
しかし、これではh=h'にならず、傾きで高さが変わってしまうことになります。
※もし「ガラス管内部にある水銀が押される力」が傾いていたら、水銀柱の表面も傾く（（押される力＋重力）の垂直の向き）と思うのですが・・・

回答No.3

bran111 · ベストアンサー

質問者の書いている左の図は何の意味もない。このままでは倒れるでしょう。従って何かで支える必要があります。それは回転モーメントを消します。結論として水銀にかかる重力は水銀柱(長さL)に沿った斜め方向となり大きさはF=σSLg、その垂直成分が

Fsinθ=σSLgsinθ=σSgLsinθ=σSgh

ということです。

お礼

回答ありがとうございます。解決しました。

No.2さんの回答に補足・コメントできないので、ここで。
「１．円柱内の面積による解釈」で、h=h'にならないのは、ガラス管が倒れることを考慮してないからだと思います。

回答No.2

noname#212313

> 左：F=σShg　―(1)
> 右：F=σSh'/sinθ×g　―(2)

　h、h'は垂直方向の高さということですね。確かに等しくならねばなりません。いくつか考え方があるように思います。

１．円柱内の面積による解釈

　高さが合わないのは、面積Sを共通としてしまっているからです。全圧力は面積に比例するはずです。

　左の円柱の半径がrとすれば、S＝πr^2です。右の円柱において、水銀の表面は楕円になっています。この楕円に対して真空が引く圧力1気圧が生じています。(1)より、

　F＝σShg＝σπr^2hg　―(1)’

　楕円の短径の半分bは円柱の半径rと同じです。楕円の長径の半分をaとすれば、傾きの角度がθのとき、r/sinθとなります。楕円の面積S'はπab＝πr^2/sinθとなりますから、(2)より、

　F=σS'h'/sinθ×g＝σ(πr^2/sinθ)h'/sinθ×g＝σπr^2h'g　―(2)’

　(1)’と(2)’から、

　σπr^2hg＝σπr^2h'g
∴h＝h'

（※鉛直方向で圧力を考えている点に注意、次の２と異なる点があります。）

２．水銀にかかる重力を水銀柱方向で解釈

　合わないのは傾いた円柱方向への重力加速度の寄与を考えていないためです。例えば、同じ質量なら、垂直落下と滑らかな斜面を滑り落ちる場合で、重力加速度の寄与は異なるはずです。

　左の水銀柱の質量による下へ落ちようとする力Fは垂直で、下の槽の水銀面を基準として、以下のようになります。

　F＝ρShg　―(1)

　右の水銀柱は斜めです。円柱方向で考えると傾きがθですから、水銀が下へ落ちようとする力F'は円柱方向について、

　F’＝(σSh'/sinθ)sinθ×g＝ρSh'g　―(2)

となります。真空と外気圧の差による水銀柱を引く力が等しいはずですから、F＝F'のはずです。（※１と違って、水銀柱方向で考えている点に注意。）

　すると(1)と(2)から、

　ρShg＝ρSh'g
∴h＝h'

お礼

回答ありがとうございます。

補足

(2)'について。σ(πr^2/sinθ)h'/sinθ×gは、
σπr^2×h'
ーーーーーーーーー×g
sinθ×sinθ
ですか？これだと分母がsin^2 θになります。

それと、正しい力の向きがわかりません。この図のような力だと、回転してしまうような気がします（そもそも流体に、剛体のような回転はあるのでしょうか？）。

回答No.1

bran111

h=h'です。質問者はh'を水銀柱に沿って測った斜めの長さLと混乱しています。

h'=Lsinθです。

F=σSLsinθ×g=σSh'g

お礼

回答ありがとうございます。
質問した時は、水銀柱を剛体の棒？のような物体と考えていたため、水銀柱の質量は密度×底面積×長さであると思っていました。今回のような流体を扱う力学は習っていないので、どういう理由でダメなのか、具体的に教えて頂きたいです。

補足

補足
剛体と考えた時、図の力の向きでは回転してしまうので、矢印の向きは多分間違っていると思います。