解析学の、接平面の方程式を求める問題を教えて下さい

質問

この問題で困っています。
次の曲面の指定した点での接平面の方程式の求め方を教えてください。
(1)z=Arctan(x+2y)、(x,y,z)=(1,-1,-π/4)
(2)z=(14-x^2-y^2)^(1/2)、(x,y,z)=(a,b,(14-x^2-y^2)^(1/2)
ただしa^2+b^2＜14とする。
(3)z=Arcsin(2x-y)、(x,y,z)=(1/4,1,-π/6)
方法が分かりません。お願いいたします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

曲面z=f(x,y)上の点(x0,y0,z0)における接平面の方程式は

z=f(x0,y0)+[∂f(x0,y0)/∂x](x-x0)+[∂f(x0,y0)/∂y](y-y0)

で与えられる。

(1)z=Arctan(x+2y)、(x,y,z)=(1,-1,-π/4)

t=x+2yとおくとz=arctant,t=-1, d(arctant)/dt=1/(1+t^2)(公式集参照)

点(x,y,z)=(1,-1,-π/4)において

∂z/∂x=(∂t/∂x)(dz/dt)=1/(1+t^2)=1/2

∂z/∂y=(∂t/∂y)(dz/dt)=2/(1+t^2)=1

接平面

z=-π/4+(x-1)/2+(y+1)

(2)z=(14-x^2-y^2)^(1/2)、(x,y,z)=(a,b,(14-a^2-b^2)^(1/2))
ただしa^2+b^2＜14とする。

点(a,b,(14-a^2-b^2)^(1/2))において

∂z/∂x=(1/2)(14-x^2-y^2)^(-1/2)(-2x)=-x/(14-x^2-y^2)^(1/2)

=-a/(14-a^2-b^2)^(1/2)

∂z/∂y=(1/2)(14-x^2-y^2)^(-1/2)(-2y)=-y/(14-x^2-y^2)^(1/2)

=-b/(14-a^2-b^2)^(1/2)

接平面

z=(14-a^2-b^2)^(1/2)-[a/(14-a^2-b^2)^(1/2)](x-a)-b/(14-a^2-b^2)^(1/2)](y-b)

(3)z=Arcsin(2x-y)、(x,y,z)=(1/4,1,-π/6)

t=2x-yとおくとz=arcsint,t=-1/2, d(arcsint)/dt=1/(1-t^2)(公式集参照)

点(x,y,z)=(1,-1,-π/4)において

∂z/∂x=(∂t/∂x)(dz/dt)=2/(1-t^2)=4√3/3

∂z/∂y=(∂t/∂y)(dz/dt)=-1/(1-t^2)=2√3/3

接平面

z=-π/6+(4√3/3)(x-1/4)/2+(2√3/3)(y-1)

お礼

理解できました。
有難うございました。
助かりました