数学の三角比について

質問

閲覧頂きありがとうございます。

次の問題について、求め方が全く分からなくて困っています。

正方形が、下の図のような隣り合わせに並んでいる。この時、角ACD＋角ABCの値をθ°とおいたとき、tanθ°の値を求めよ。

以上です。

複雑な計算が必要なのでしょうか？
公式等がありましたら教えて頂きたいです。

よろしくお願いします。

回答No.6

staratras

tanの加法定理を使う解法がわかりやすいとは思いますが、三角形ABDと三角形CAD(対応する頂点に注意)が相似であることに気づけば、三角形の外角の性質から∠ACD＋∠ABC(下の図ではα+β)が45度であることは明らかです。

なお三角形ABDと三角形CADが相似である理由は、∠BDA=∠ADC(共通)かつBD/AD＝AD/CD＝√2
すなわち2辺の比と、そのはさむ角(挟角)がそれぞれ等しいからです。
（∵正方形の1辺の長さをaとすると、BD=2a、AD=√2a、CD=a）

お礼

図を用いたご説明ありがとうございます。

再度取り組んでみます。

回答No.5

yyssaa

＞tan∠ACD=1/2、tan∠ABC=1/3
tanθ=tan(∠ACD+∠ABC)
=(tan∠ACD+tan∠ABC)/{1-(tan∠ACD)*(tan∠ABC)}
=(1/2+1/3)/{1-(1/2)*(1/3)}
=(5/6)/(1-1/6)=(5/6)/(5/6)=1・・・答

お礼

計算過程を記して頂きありがとうございます。

再度取り組んでみます。

回答No.4

keiryu

これはかって大学入試に提出されました。

Ｄを通って正方形の一辺と同じ長さを下に延長し、Ｅとする。
すると、ＡＢＥが直角二等辺三角形となり、∠ＡＢＥが４５°
図をじっくり見て下さい。
これが直角二等辺三角形になること、
この角度が、ＡＢＣとＡＣＤの和と等しいこと、が分かると思いますが。

４５°ですから、tanθの値は１。

お礼

ご回答ありがとうございます。

再度取り組んでみます。

回答No.3

tetra_o

sanzeroさんの仰るように、図形の長さが分からなくても、比さえ分かれば三角比は求まります。そして、加法定理を使えばtanθは求まります。
実際に計算しますと、tan∠ACD=1/2, tan∠ABD=1/3ですから、tanθ=tan(∠ACD+∠ABD)=(tan∠ACD+ tan∠ABD)/(1-tan∠ACD*tan∠ABD)=(1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)=1となります。これはつまりθ=45°を意味します。
まあ私が現役生でもそうするでしょうが、θ=45°となるあたり、幾何学的に考えてもいけそうな気がしなくもないですね。ということで、私はsanzeroさんとは違った回答を致します。次の画像を参照しながらお読みください。

[参考画像] http://art21.photozou.jp/pub/733/3028733/photo/214216787_org.v1415813082.png

まず、図のように正方形を描きます。実線はもともとある正方形、点線はかきたした正方形です。そして、点O,C',C''を図のようにおきます。∠ACDは■で、∠ABDは●で表します。この時、AC''とBC''は対応する正方形の対角線となります(図形を見ればお分かりになるかと)。
さて、対称性から、当然∠DC'O=■となり、∠DC''O=■となります(∠DC'O=■から円周角の定理によって∠DC''O=■を導くこともできます)。ここで、四角形OAC''Bについて、∠AOB=∠AC''B=90°、つまり対角の和が180°ですから、この四角形は円に内接します。従って、円周角の定理より、∠ABO=∠AC''O=●
最後に、∠AC''D=∠DC''O+∠AC''O に ∠AC''D=45°, ∠DC''O=■=∠ACD, ∠AC''O=●=∠ABDを代入すれば、
θ=∠ACD+∠ABD=■+●=45°
となります。

とまあここまで述べてきましたが、やはりsanzeroさんのように加法定理を用いたほうが簡単で早いのでそのように解くことをおすすめします(苦笑)。

お礼

ご回答ありがとうございます。

加法定理について勉強してみます。

回答No.2

sanzero

tanθ = tan(∠ABC + ∠ACD)
なので、tanの加法定理でtanθは出るでしょ。
そしてθを求めるのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

再度取り組んでみます。

回答No.1

spring135

図の縦の長さ、横の長さがわからなければ計算のしようがありません。

お礼

ご回答ありがとうございました。