無限等比級数の相似比と面積比

質問

画像の問題にて、（３）の（１）（２）の答えが相似比から面積比に直す（？）となるのが意味分かりません。解説お願いします。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

そういううことを覚えておけばよい。
ただ，#1で書いた答えは，間違っているね。

> 5:y(1)=√3:1になる。これからy(1)=1/√3=√3/3になる。

そんなはずがない。y(1)=5/√3だ。
だから(3)もそれに応じて答えは#1で書いたものとは異なる。

お礼

ありがとうございます。
かなり考えた問題でしたが、助かりました！

回答No.1

f272

OからO(n)に向かって引いた直線は，x軸と30度の角度になっていることはいいよね。
(1)
1:2:√3の直角二等辺三角形ができているはずだから5:y(1)=√3:1になる。
これからy(1)=1/√3=√3/3になる。
(2)
図の中に書き込んであるようだからわかるはず。
(y(n)+y(n+1)):(y(n)-y(n+1))=2:1
だから
y(n+1)=(1/3)y(n)
になる。
y(n)は円O(n)の半径になっている。円はどれも相似であってその相似比が1/3ということが(2)でわかった。
すると円の面積比は1/9になっている。
だから与えられた無限級数は，初項がπ*y(1)^2=π/3で公比が1/9の等比級数だ。その和は(π/3)/(1-1/9)=(3/8)π

お礼

ありがとうございます。
・相似比はy(n+1)：１=y（n）：３だけでなく、y(n+1)=(1/3)y(n)の形でも表せるんですね。
・どの円同士も必ず互いに相似なんでしたね（合同では無い。）。
・どうやら円の無限等比級数は、初項はn=1の面積で公比は相似比を面積比に直したものなんですね（それを丸暗記すれば良い。）。
以上、三点を理解しましたが合っていますか？