この問題はどうやって解けばいいですか

質問

4個の整数、1,a,b,cは、1<a<b<cをみたしている。これらの中から相異なる2個を取り出して和をつくると、1+aからb+cまでのすべての整数の値が得られるという、a,b,c,の値を求めよ。

回答No.5

staratras

なるべく試行錯誤をしなくても済むように解いてみます。
まずa,b,cが1<a<b<cを満たす整数のとき、このなかの相異なる2数の和の大小関係を考えると、次の3つの不等式は常に成り立つことは明らかです。

1+a<1+b　…(1) a+c<b+c …(2) 1+b<a+c …(3)

(1)(2)(3)から相異なる2数の6つの和のうち、最小の和、2番目に小さい和、最大の和、2番目に大きい和、の4つは確定しています。しかしその間に位置する２つの和1+cとa+bの大小関係はa,b,cの値次第で等しい場合も含めて3通りあります。このためこの2つの和の大小関係を以下のように場合分けをして考えます。

(場合１）1+c<a+b のとき
(1+a,1+b,1+c,a+b,a+c,b+c)=(a+1,a+2,a+3.a+4.a+5,a+6)
1+b=a+2 より　b=a+1, 1+c=a+3 より　c=a+2 b+c=2a+3=a+6 よりa=3
したがって(a,b,c)=(3,4,5)
このとき(1+a,1+b,1+c,a+b,a+c,b+c)=(4,5,6,7,8,9)で題意を満たす。

（場合２）1+c=a+b のとき
(1+a,1+b,1+c,a+b,a+c,b+c)=(a+1,a+2,a+3.a+3.a+4,a+5)
1+b=a+2 より　b=a+1, 1+c=a+3 より　c=a+2 b+c=2a+3=a+5 よりa=2
したがって(a,b,c)=(2,3,4)
このとき(1+a,1+b,1+c,a+b,a+c,b+c)=(3,4,5,5,6,7)で題意を満たす。

(場合３) a+b<1+c のとき
(1+a,1+b,a+b,1+c,a+c,b+c)=(a+1,a+2,a+3.a+4,a+5,a+6)
1+b=a+2 より　b=a+1, 1+c=a+4 より　c=a+3 b+c=2a+4=a+6 よりa=2
したがって(a,b,c)=(2,3,5)
このとき(1+a,1+b,a+b,1+c,a+c,b+c)=(3,4,5,6,7,8)で題意を満たす。

答え　(a,b,c)=(3,4,5)または(2,3,4)または(2,3,5)

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

＞足し算は6通りしかないから b+c - 1-a <= 6

最近書き間違いが多いです。すいません。

足し算は6通りしかないから b+c - 1-a <= 5

後はあってるみたいです。多分(^^;

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

足し算は6通りしかないから b+c - 1-a <= 6

a=4, b=5, c=6 ではもう成り立たないので a<= 3

a=3, だと、b=4, c=5 しかありえないが 和が 4～9 になればよい

1+3=4, 1+4=5, 1+5=6, 3 + 4 = 7, 3 + 5 = 8, 4 + 5 = 9 で合格

a=2 だと b=3, c = 4 では 和が 3～7 になればよい

1+2 = 3, 1 + 3 = 4, 1 + 4 = 5, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 6, 2 + 5 = 7 で合格

a=2 だと b=3, c = 5 では 和が 3～8 になればよい

1+2=3, 1+3=4, 1 + 5 = 6, 2+3=5, 2+5=7, 3 + 5 = 8 で 合格

a=2 だと b=4, c = 5 では 和が 3～9 になればよい

1+2=3, 1+4=5, 1 + 5 = 6, 2+4=6, 2 + 5 = 7, 4 + 5 = 9 で 8 がないので不合格

答え (a, b, c) = (3, 4, 5), (2, 3, 4), (2, 3, 5)

回答No.2

kyushuwalker

a=3、b=4、c=5
1+a=4、1+b=5、1+c=6、a+b=7、a+c=8、b+c=9
和に重複を許せば、a=2、b=3、c=4でも可です。
例えば、a=n、b=n+kとすると、n+2という値を得るためには、
k=1以外はダメでしょう？
あとは順番に証明していけばいいと思います。

回答No.1

FEX2053

とっかかりだけ。

1+aの次に大きい整数は「1+(1+a)」であらわされます。
これを、1,a,b,cのうち２つで作り出すには、

「1+(1+a)」＝「1+(aでない何か）」

が成立する必要があり、両辺から1を引くと

「1+a」＝「aでない何か」＝「題意よりb」となり、
b=1+aが成立します。

同様に「b+1」がどうなるか（c+1か、a+;bしかあり得ない）
を考えて行くと解けるんじゃないかと思います。