モノイド・半群は演算が閉じている？

質問

モノイド・半群に付いてお尋ねします。

Wikipediaでは
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89
下記２条件のみが書かれてあります。
結合律
S の任意の元 a, b, c に対して、(a • b) • c = a • (b • c)
単位元の存在
S の元 e が存在して、S の任意の元 a に対して e • a = a • e = a
一方でモノイドは単位元をもつ半群と書かれてあります。

半群は下記の通りです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E7%BE%A4
演算が閉じている
S の各元 a, b に対して、演算結果 a • b は再び S に属する。
結合律
S の各元 a, b, c に対して、等式 (a • b) • c = a • (b • c) が満たされる。

これを見るとモノイドも演算が閉じている必要があると読み取れるのですがどうでしょうか。
モノイドの方の記述が抜けているだけかと思ったのですが履歴を見るとわざわざ除外されています。
他のサイトを見てもモノイドは「演算が閉じている」と書かれているサイトを多数見かけます。
研究者によって解釈が分かれているのでしょうか。

回答No.1

rinkun · ベストアンサー

そもそも「演算が閉じている」のでないときってどんなとき？
普通に考えると、ある集合S上の演算といえば演算結果はもちろんSの元でなければいけない。
だからわざわざ「演算が閉じている」というのは蛇足になる。
「演算が閉じている」に意味があるのは、演算がSを含むある集合X上で定義されているとき。
このときは演算結果は一般にXの元になるので、それがSの元になることを言明する「演算が閉じている」に意味がある。

従って、抽象論としてモノイドや半群の定義を与えるときに「演算が閉じている」というのは蛇足。
そもそもS外の元という概念を示していないので、S上の演算といった時点で「演算が閉じている」。
ただし、既にある代数構造の部分集合Sがモノイドや半群になっていることをいう場合は「演算が閉じている」を確認することが必要である。しかしこれは演算がS上の演算になっていることを要求するもので、モノイドや半群の定義として別途記載すべきことではないと思う。

お礼

すっきりしました。
ありがとうございました。

補足

演算が閉じていないとは自然数の集合に対する引き算をイメージしました。そして集合上の演算といった時点でこれは除外されるのだと理解しました。これを踏まえて再びWikipediaを見ると
●半群とは集合 S と二項演算 "•" の組 (S, •) であって、二項演算 • が以下の条件
●モノイド は集合 S とその上の二項演算 “•” の組 (S, •) で、この二項演算が以下の二条件
となっており表現の違いがあるだけでどちらも演算が閉じている点で一致していると理解しました。