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定積分の問題
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『偶関数』と『奇関数』の定義については、数学の教科書ではなく辞書でも確認できます。 もちろんインターネットでも検索できます。 『偶関数』の典型的なものはy=x^2、『奇関数』の典型的なものはy=xなので、まずこの二つの関数のグラフを書いてみましょう。 y=x^2のグラフの特徴は、y軸に関して対称だということです。 この場合には、x=-2のときもx=2のときも、y=4となって同じ値を取ります。 これを[-2→2]の範囲で定積分するということは、x=-2、x=2、y=x^2、x軸の4本の直線・曲線で囲まれた部分の面積を求めることになります。 このグラフから、[-2→0]の範囲の面積と[0→2]の範囲の面積が等しいことが分かるので、全体の面積は[0→2]の範囲の面積を2倍すればいいことになります。 これが『偶関数』の定積分の考え方です。 y=x^2はxの指数が2で偶数なので『偶関数』なのです。 『偶関数』にはy=x^4、y=x^6などもあり、定積分の考え方は全く同じです。 但し、この考え方は定積分する範囲の初めと終わりのxの絶対値が等しく符号が逆になる場合([-2→2]のような場合)に限られ、たとえば[-3→2]のような場合には範囲全体をとらえるか、[-3→-2]と[-2→2]に分けてとらえなければなりません。 次にy=xのグラフの特徴は、原点に関して対称だということです。 この場合には、x=-2のときにはy=-2、x=2のときにはy=2となって、yの絶対値が等しく符号が逆になります。 これを[-2→2]の範囲で定積分するということは、x=-2、x=2、y=x、x軸の4本の直線で囲まれた部分の面積を求めることにはなりません。 面積に負の値はありませんが、グラフから分かるように、ｘ軸の下(y≦0)にある3本の直線で囲まれた部分の面積はいわば負の値なので、ｘ軸の上(y≧0)にある3本の直線で囲まれた部分の面積と打ち消しあって定積分した値が0になります。(面積に負の値はなくても、定積分した値は負にもなります。) これが『奇関数』の定積分の考え方です。 y=xはxの指数が1で奇数なので『奇関数』なのです。 『奇関数』にはy=x^3、y=x^5などもあり、定積分の考え方は全く同じです。 但し、範囲のとらえ方は『偶関数』の場合と同様に注意が必要です。 以上の内容を踏まえて問題を見ると、範囲は[-2→2]なので『奇関数』はすべて無視し、『偶関数』だけを[0→2]の範囲で定積分して、その値を2倍すればいいことになります。 よって、問題は次のように変わります。(xに0を代入すればいいので、計算が簡単になります。) 2∫[0→2](-x^2+4)dx=2[-x^3/3+4x][0→2]=2(-8/3+8)=32/3
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- spring135
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∫[2 -2 (2x^3-x^2-3x+4)]dx=-2∫(2x^3-x^2-3x+3)dx =-2[x^4/2-x^3/3-3x^2/2+3x]+c=-x^4+2x^3/3+3x^2-6x+c かと思ったら定積分という題名があったので ∫[-2→2] (2x^3-x^2-3x+4)dxの意味ですか。 ∫[-2→2] (2x^3-x^2-3x+4)dx=[x^4/2-x^3/3-3x^2/2+4x][-2→2] =(8-8/3-6+8)-(8+8/3-6-8)=-16/3+16=32/3 誤解の生じないような書き方をしてください。
- asuncion
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偶関数や奇関数の性質を知っていれば より簡単に解けますが、 別に知らなくても、普通に積分すればよいです。
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