数学

質問

aを実数の定数として、二次方程式x^2-2ax+2a=0
一解の二倍が他の解となるようなaの値は？

四角形ABCDがある円に内接し、AB=1、BC=√3、CD=√2、DA=√2
対角線AC,BDの交点をEとするとき、AE:ECは？
それゆえ三角形ABEの面積は？

教えてください

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

二問目

　△ABCとACDに余弦定理を使うと
｜AC|＾２＝｜AB|＾２＋｜BC|＾２－｜AB||BC|・ｃｏｓＢ
　　　　　　＝４－（２√３）＊ｃｏｓＢ
｜AC|＾２＝｜AＤ|＾２＋｜ＣＤ|＾２－｜AＤ||ＣＤ|・ｃｏｓＤ
　　　　　＝４－４・ｃｏｓＤ
よって
（２√３）＊ｃｏｓＢ＝４・ｃｏｓＤ　・・・（１）
四角形ＡＢＣＤは円に内接しているので、∠Ｂ＋∠Ｄ＝π
よって　
ｃｏｓＤ＝ｃｏｓ（πーＢ）
　　　　＝－ｃｏｓＢ
従って（１）は
（２√３）＊ｃｏｓＢ＝－４ｃｏｓＢ
これを満たすのはｃｏｓＤ＝０
０＜∠Ｄ＜πより　∠Ｄ＝π／２　よって　∠Ｂ＝π／２
以上より、△ＡＢＣは三辺の長さが１、２、√３の直角三角形
なので、その内角は３０°、６０°、９０°
△ＡＣＤは三辺の長さが√２、√２、２の直角二等辺三角形
なのでその内角は４５°、４５°、９０°

あとは共通の弦に対する円周角が等しいことを使うと色々な
部分の角度が「ここは４５°」とか「ここは６０°」とかいう具合に
判り、相似な三角形があることが判る。例えば△ＡＢＥとＤＣＥは
相似になり、その相似比は｜ＡＢ｜：｜ＤＣ｜＝１：√２になる。
よって｜ＡＥ｜：｜ＥＤ｜＝｜ＢＥ｜：｜ＥＣ｜＝１：√２　・・・（あ）

同様に△ＢＥＣとＡＥＤも相似で相似比は√３：√２。
よって｜ＥＤ｜：｜ＥＣ｜＝√２：√３　・・・（い）

（あ）と（い）を使えばＡＥとＥＣの比も判るような・・・

△ＡＢＣの面積は√３／２なのだから、上記でＡＥとＥＣの比が判れば
△ＡＢＥの面積も判るような・・・

回答No.1

asuncion

Q1.
x^2 - 2ax + 2a = 0
の2つの解をα, βとする。このとき、
β = 2αとしても一般性を失わない。
解と係数の関係から、
α + β = 3α = 2a, αβ = 2α^2 = 2a
2α^2 - 3α = 0
α(2α - 3) = 0
α = 0, 3/2
∴a = 0, 9/4