物理の問題

質問

次の問題の解答をお願いします。

半径aの球に密度p(一定)の電荷が分布している。この球の電場と電荷を求めよ。ただし無限遠での電位を零とする。

回答No.2

crystaldual · ベストアンサー

電磁気学はマックスウェルの方程式4式で書き表せます。
電荷と電界を関係づける式は、その中の下記です。ただし、Dはベクトル
div D =ρ
球の中心からある場所までの距離をrとすると、上記式の体積積分を取り、
∫∫∫div D dV=∫∫∫ρdV
ここで、rについて、2種類に分ける。即ち、a>=ｒとa<rである。(a<=rでもよい)
a<rの時
∫∫∫div D dV=∫∫∫ρdV
∫∫D・n dS=∫∫∫ρdV
ここで、∫∫∫ρdV は半径aまではρでそれ以上は0だから
∫∫∫ρdV =(ρ4πa^3)/3 <-これが電荷。一方右辺は
D∫∫ dSとなり、∫∫dSは球の表面積なので、D4πr^2となる。ここではDはDの大きさとした。ゆえに
D4πr^2=(ρ4πa^3)/3となる。整理すると　(ここで、Dのベクトル方向をr方向に取るのが望ましい)
D=(ρa^3)/(3r^2)
ここで、D=εEより　(真空中ならεをε0と読み替えてください)
E=(ρa^3)/(3εr^2)
電位は、V=-∫Edrで計算（電位は必要なさそうなので、ここまで）

a>=rのとき
∫∫D・n dS=∫∫∫ρdV
∫∫∫ρdV=(ρ4πr^3)/3 <-これが電界に効く電荷。外の電荷は効かない。一方右辺は
D∫∫ dSとなり、∫∫dSは半径rの球の表面積なので、4πr^2となる。ゆえに、合わせて
D4πr^2=(ρ4πr^3)/3
D=ρr/3
ここで、D=εEより　(真空中ならεをε0と読み替えてください)
E=ρr/3ε

ここまでの電位を出すなら、V=-∫Edrとし、無限遠からrまでを積分する。その時、無限遠r=aまでは、r>aの時のEを用い、r=aからｒまでは、a>rの時のEを用いる。
電界の概略を図に示す。