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関数の極限の問題です（大学１年レベル）…続き
oodaikoの回答
- oodaiko
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それでは高校で学習したe^xの定義に戻って考えてみましょう。 高校で学習したe^xの定義は lim{n→∞} ( 1 + (x /n) )^n でしたね。この定義を利用して計算します。 必要な予備知識は２項展開の公式だけです。 なお Σ_{k=i}^{n} f(k) は数列f(k) のk=iからnまでの総和を表すとします。 lim{x→0} ( e^x - 1 )/ x ＝ lim{x→0} lim{n→∞} ( ( 1 + (x /n) )^n - 1 ) / x (以下 lim{x→0} lim{n→∞} は省略） ＝ (（ Σ_{k=0}^{n} n!/( k!(n-k)! ) (x/n)^k ） - 1 ) / x ＝ （Σ_{k=1}^{n} n!/( k!(n-k)! ) (x/n)^k ）/ x ＝ Σ_{k=1}^{n} n!/( k!(n-k)! ) x^{k-1}/n^k ＝ Σ_{k=1}^{n} (n-1)!/( (k-1)!(n-k)! ) (x/n)^{k-1} ここでk-1,n-1を改めてk,nと書き直すと ＝ Σ_{k=0}^{n} n!/( k!(n-k)! ) (x/(n+1))^k ＝ ( 1 + (x /(n+1)) )^n ＝ ( 1 + (x /(n+1)) )^{n+1} / ( 1 + (x /(n+1)) ) ここで再び lim{x→0} lim{n→∞}を考えて ＝ lim{x→0} lim{n→∞} ( 1 + (x /(n+1)) )^{n+1} / ( 1 + (x /(n+1)) ) ＝ lim{x→0} e^x ＝１ 以上
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