- 締切済み
複素数の演算について
複素数ならいたてなんですが、そもそも複素数を考えるのは認めるとして、複素数の割り算のようなことをしても大丈夫なんでしょうか。 たとえば1/(c+id) について（c、dは実数）、これは有理化すると複素数になりますが、これはそもそも逆数を取るという操作をしても良いのでしょうか？ また複素数は大きさがないとありました。 つまり「量？」がないものについて演算しても良いのでしょうか？ また(c+id)/(c+id)について、複素数は大きさ（量？）がないものに「おなじ複素数だから」という理由？ で(c+id)/(c+id)＝１としても良いのでしょうか？実数についてa/aは分子分母同じ量だから＝１となりますよね？ もしかしたら私はとんでもない勘違いをしているのかもしれません。 以上の質問、よろしくお願いします。
- doragonnbo-ru
- お礼率21% (111/516)
- 数学・算数
- 回答数5
- ありがとう数0
- みんなの回答 （5）
- 専門家の回答
みんなの回答
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>複素数は大きさがない 普通複素数の「絶対値」を「大きさ」としますが、 大きさがない というのは何か別のレトリックだと思います。 あまり惑わされない方がよいでしょう。 複素数は身近では、交流の電圧や電流を表すのに使われていて、 大きさと角度(位相)を持つ量(交流とか波とか)を表すのに非常に便利なので、 工学分野では広く使われています。 複素数の割り算は実数から受け継いだ「大きさ」の割り算と角度(位相)の 引き算を組み合わせたもので、実数の割り算とは矛盾のない拡張になっています。 このあたりは ・オイラーの定理 ・回転行列 ・複素数と対数の関係 などを学べば、その美しさと便利さがわかると思います。
- funoe
- ベストアンサー率46% (222/475)
「数」を定義するとは、四則演算を定義することといっても大体間違いありません。 いま、「複素数」を定義（というか、初めて学ぶ）しているのですから、複素数の四則演算を学んでいるのでしょう。 -- 既回答のとおり、複素数には大小関係は（普通は）定義されません。２つの複素数ａとｂがあっても、ａ＜ｂといった関係が定義されていないということです。 -- 以下に記す回答は「なにを言っているじゃ、さっぱりわけわからん（怒）」となるかもしれませんが、近い将来「あぁ、なるほど」と理解してくれたら幸いです。 マイナスの数や無理数といったものの四則演算については、心底、納得いっていますか？ へんな質問ですが、 「-2/3」を見たことありますか？ 「-√２」を見たことありますか？ 「π」を見たことありますか？ -5/7÷｛1+√（２π）｝っていう割り算、こんなことして大丈夫なんでしょうか？ 小学校で習う「算数」は、「身近に実感できる現象」を「数を使って表現」しています。だからマイナスは出てこないのです。 自然数と、正の分数は身近に実感できる対象があるのです。 りんご３個や、ケーキ2/5個分や、３０ｋｍの距離を２時間で到達する時速１５ｋｍ/時というのは、まぁまぁ実感できる数になっています。 「身近な現象」が先にあるというのが重要ポイントです。 一方、中学校以降で習う「数学」では、実生活を離れ抽象化された数（すう）を学びます。 だから急にマイナスの数が現れ、文字式が現れ。無理数が現れ、さらにπやｅなどという超越数も出現するのです。 高校ではベクトルや行列といった「数」を学びます。 行列の掛け算や割り算（逆行列）なんて、ほとんどの高校生にとって「実感できない抽象的なもの」でしょう。 複素数も同じようなものです。数としての性質（四則演算）が、しっかりと定義されているのならば、 それが生活実感との対比として理解できなくても「そんな数があるんだ」と理解するのが、中学1年生以降の「数学」（「数」の学問）という教科なのです。
- info222_
- ベストアンサー率61% (1053/1707)
No.2です。 ANo.2の補足について >もしかして逆数をとっていいのは複素数のわり算が定義されているからですか？ 逆数を取ることは、１をその複素数でわることと同じことでしょう。 その他については 参考URLをご覧ください。 参考URLhttp://ja.wikipedia.org/wiki/複素数
- info222_
- ベストアンサー率61% (1053/1707)
>複素数の割り算のようなことをしても大丈夫なんでしょうか。 大丈夫。問題ありません。 >たとえば1/(c+id) について（c、dは実数）、これは有理化すると複素数になりますが、 >これはそもそも逆数を取るという操作をしても良いのでしょうか？ 良いです。問題ありません。 >また複素数は大きさがないとありました。 大きさではなく、大小関係がないということです。 複素数の大きさは、複素数の絶対値のことでしょう。 複素数の絶対値は実数なので、絶対値の大小は比較できます。 複素数そのものの大小は定義されていませんので、複素数の大小比較はできません、 >つまり「量？」がないものについて演算しても良いのでしょうか？ 複素数の絶対値（量？）は定義されていて存在します。 複素数の大小比較は定義されていませんのでできませんが、複素数の演算は定義されていますので 複素数の四則演算はしても問題ありません。 >また(c+id)/(c+id)について、複素数は大きさ（量？）がないものに「おなじ複素数だから」という理由？ で(c+id)/(c+id)＝１としても良いのでしょうか？ 大きさが絶対値を指すとすれば、大きさ（量？）はあります。 複素数の割り算も定義されていますので、(c+id)/(c+id)＝１としても問題ありません。 >もしかしたら私はとんでもない勘違いをしているのかもしれません。 大筋は、勘違いではありません。複素数に大小関係は定義されていませんので、複素数同士の大小比較はできませんが、複素数の絶対値の大小は比較可能です。 つまり、ｚ=x+i yの絶対値 |z|=√(x^2+y^2)の大小の比較は可能です。 >実数についてa/aは分子分母同じ量だから＝１となりますよね？ その通りです。複素数についても、分子、分母が同じなら約分できて、＝1 となります。」
- notnot
- ベストアンサー率47% (4848/10262)
量が無いわけではないです。大小比較が定義されていないだけで。 実数部、虚数部はそれぞれ実数だし、絶対値というものもあるし。 そのままでは大小比較できない以外は普通に計算できます。 特に勘違いなさっている部分は無いと思います。
補足
量があるのに大小比較ができないのはちょっと理解しがたいです。 複素数の絶対値とは複素数平面上で便宜上？勝手に定義されたものでそれ自身は複素数の量を示しているわけではないのですか？
関連するQ&A
- 「有理化」という言葉の適用範囲
「有理化」という言葉の適用範囲 例えば↓の「複素数の有理化」のような表現がありますね。 http://www.eonet.ne.jp/~hidarite/ce/math01.html 分母自体は実数になっただけで、有理数になったのかどうかはわかりません。 また、分母または分子に「a+√b」や「1+cosθ」があったとき 分母と分子に「a-√b」や「1-cosθ」を掛けることも「有理化」と呼ぶ人がいますが (a^2-b^2)や(sinθ)^2が有理数でない場合にも使っているように思います。 教育現場などで使われている誤用だと考えてよいのでしょうか? 代わりにこれらをひっくるめた適当な呼び方はありますか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素数について
先ほどまで別の質問を立てていたのですが 質問分の訂正等色々あったので立て直しました。 一つ断っておきたいのは複素数を授業で習い終えたのですが 最初から最後までちんぷんかんぷんでした。 通信制のスクーリング授業（大学）だったためというのがあります。 その前に三角関数やベクトルを習いましたが、そこからついていけていませんでした。 なので、下記に記す質問以外の事は回答頂いてもついていけませんのでご了承ください。 （なら質問するなって話なのですが、疑問点があるもので） 複素数の四則演算の公式で a+bi ---- c+di （分数って事で…) (a+bi)(c-di) =---------- (c+di)(c-di) ac+bd bc-ad = ----- + ------i c^2+d^2 c^2+d^2 がありますが、それまでの複素数の所も分からなかったのですが 問題でこの公式に当てはめるものがあり、単純に当てはめれば解けるのではと思い 結局間違えてしまった問題があります。 それが以下の問題と私の解き方です。 2+3i ---- 1-2i (2+3i)(1+2i) =---------- (1-2i)(1+2i) 2+6 3-4 =--- + ----i 1-4 1-4 =-3i 答え合わせの結果から単純に符号を間違えたことによる答えの相違だというのは分かっています。 こういう符号の使い方になったのは こういう考え方してはいけないの分かっているのですが 公式と問題を比べて、分子は公式と同じプラスだからそのまま 分母は公式と違ってマイナスだから公式と反転させてという考え方をしました。 この点に関して理解できないとの回答を以前頂きましたが 自分でもなんとなくこういう考えは複素数ではしてはいけないという事は分かってはいました…。 （中3ぐらいまでならこういう考え方で成立する公式ばっかりでしたので、こういう感じになりました） で、この公式は有理化で解く事も教わりました。 質問点としては １．この公式は分母を有理化して、そこからは普通に展開をして解いていくということですか？ ２．答え合わせの結果の途中式の一部がノートに書き忘れており、分からないのですが (1-2i)を分子と分母に掛ければ正解になったのですか？ （(1+2i)を掛けるのが間違いなのは自分の解いた結果からも分かっているのですが、1-2iを掛けても有理化になるのですか？） 1-2iを掛けてみたところ 2-i-6i^2 --------- 1-4i+4i^2 となりましたが、これをどう答えに導くのかが分かりません。 i^2の対処法が特に分かりません。 最終的な答えにはiしか無いので。 長文・乱文すみません。 回答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学Ⅱ 共役な複素数の問題について。至急よろしくお願いします。
問 1/(1+i)を計算せよ。 計算方法は、「共役な複素数を分母・分子にそれぞれかけると(1-i)/(1-i^2)となり、i^2が-1だから、答えは(1-i)/2となる。」 1/(1+i) ＝(1-i)/(1-i^2) ∴(1-i)/2 これで問題ないですか？ また、「共役な複素数を分母・分子にそれぞれかける」ことは有理化ですか？ 違った場合は、正しい答えを教えてください。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素数について
質問をする前に前提として 変な話ですが 私は複素数が全体的に分かりません。 そもそも、それ以前の単元でつまづいています。 ただ、先日複素数を習いました（大学のスクーリングの授業だったのですが、分からないまま最後まで終えました） 一応ノートだけはとって帰ってきたのですが そんな感じですので、複素数にかんして色々言われても理解できないと思います。 （なら質問するなって話ですが、疑問点があるもので） 添付画像上部は四則演算の公式です。 で、下部の問題を出されたので 公式に当てはめれば解けるだろうと思い公式と問題を何度も見比べながら解いたのですが 間違えました。 授業中の答え合わせを見ていたところ、 符号を間違えただけのようです。 公式は分母分子共に＋ですが、問題は分母が－です。 こういう考えはいけないのでしょうが 分子は＋だからそのままで 分母が－だから公式とは逆の符号でという感じで問題を進めました。 複素数の前にベクトルもならったのですが その辺りから、1次方程式とかは単純にプラスからマイナスへの変化はマイナスを加えればいいだけでしたが ベクトルとかは単純にそういう感じでは無かったので、上記のような安易な考え方をしたから間違えたのかなと思っています。 符号に関してどう捉えればいいのか教えてください。 ここがプラスの場合、ここはプラス（マイナス）とか…。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 有理化せずに複素数の偏角を求める方法について
有理化せずに複素数の偏角を求める方法について ある有理化されていない複素数 C/(A+Bi) があっとして (A,B,Cは定数) これを有理化せずに偏角を求める方法はありますでしょうか? 普通は有理化して (D+Ei)/F ここから θ=atan(E/D) と求まると思います。 絶対値の計算は有理化しないでも √(C^2)/√(A^2+B^2) と求められるようですが 偏角でも有理化せずに計算できるテクニックはないのでしょうか? ご存じの方いらっしゃいましたら、是非ご教授お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素数の共役複素数を使った絶対値の導出について
複素数の共役複素数を使った絶対値の導出について z/wの複素数aとbが○で表されると思うのですが、これを用いて絶対値を求める際に分母が(c^2＋d^2)^2になるのはなぜでしょうか？ (c^2＋d^2)^4になる気がするのですが、、
- 締切済み
- 数学・算数
- 高校数学の問題です！！よくわかりません！！
問題はこれです！ (√5＋√3＋√2)/(√5＋√3－√2)を有理化せよ。 (√5＋√3＋√2)/(√5＋√3－√2)の分母を自分なりに有理化したのですが、答えの(√6＋√15)/3にどうしてもならないのです。僕の計算式は、 (√5+√3+√2)/{(√5+√3)－√2}×{(√5+√3)+√2)}/{(√5+√3)+√2)}として分母の√5と√3を括弧でくくって、分母の逆数となる(√5+√3)+√2をかけて有理化しようとしました。これだと計算すると(5+2√15+2√10+2√6)/3という計算になってしまいます・・・。どこが間違えているのでしょうか？ 新高１の宿題なのでとき方とかまだ高校で習っていません！！ わかりやすい回答をお願いします！！ ※数式わかりにくくてすみません！分数のＰＣでのあらわし方がわからなかったもので・・・。計算式の「/」は分数の分子と分母の間の線だと考えてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 1/(a+√b+√c+√d+√e)の有理化
分母の有理化について考えています。文字はすべて自然数とします。Zは一般の整数とします。 1/(a+√b) は分母分子にa-√bをかけることで有理化できます。 1/(a+√b+√c) は分母分子にa+√b-√cをかけると、分母は「Z+Z√b」型となり、以前に帰着します。 1/(a+√b+√c+√d) は分母分子にa+√b-√c-√dをかけると、分母は「Z+Z√b+Z√cd」型となり、以前に帰着します。 1/(a+√b+√c+√d+√e) はどのようにすれば有理化できるのでしょうか？ 可能でありましたら、より一般の場合も教えていただけるとありがたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Mathematicaで分母がルートにならないようにしたい
行列の演算をMathematicaで行なっています。 MatrixForm[a.b.c.d]と、4つ行列を使った演算を行なっているのですが、これの計算途中で分母がルートになってしまうことがあります。とある数学の参考書に載ってる問題を自動処理させてみようと思ったのですが、その参考書では分母が最終的にルートにならないように処理されています。分母がルートになった場合、その数を分子と分母に掛けることで分母をルート*ルートで実数にしているのです。 Mathematicaの演算で分母がルートになってしまった箇所を参考書のようなフォーマットで手動で書き直した結果、望んだ答えがでました。Mathematicaで自動で分母がルートにならないようにする方法ってありますでしょうか？これが出来ないと分子が「ルートA/ルートB*（C+・・・）」というとんでもない数字（式）になってしまいます。演算結果も、プラス記号がついたままです。 これは本件とは別なのですが、行列の演算結果を変数に入れる方法もできれば教えてください。 a=MatrixForm[A,B]; b=MatrixForm[C,D]; MatrixForm[a,b] というように演算を分けて行ないたいのですがうまくいきません。 なぜでしょうか。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
補足
「>>これはそもそも逆数を取るという操作をしても良いのでしょうか？ >良いです。問題ありません。 >複素数の大小比較は定義されていませんのでできませんが、複素数の演算は定義されていますので 複素数の四則演算はしても問題ありません。」 とありましたが、もしかして逆数をとっていいのは複素数のわり算が定義されているからですか？だとすると、複素数が実数のように四則演算できるのは、それが複素数の四則演算の「定義（公理？）」だからでしょうか？ということは今日ある複素関数論なるものはこれらを公理として話を進めているということですか？ お願いします。