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解決済み

関数の極限の問題です(大学1年レベル)

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お礼率 53% (212/400)

大学1年レベルの問題です。
       e^x - e^(-x)
    lim ----------------
    x→0   x
Excelでグラフを書いたらどうも2になりそうだと推測できたのですが、導き方を教えてください。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3

時間ができたので微分を使わないでいきます。

lim(e^x-1)/x=1 をフル活用してみます。
x→0
e^x-e^(-x)/x=(e^x-1-e^(-x)+1))/x
=(e^x-1)/x+(e^(-x)-1)/(-x)
と変形すれば1+1=2となるよ。

lim(e^x-1)/x=1 の証明は大丈夫?
x→0
e^x-1=h とおけば x=log(1+h) でx→0ならh→0
だから
lim(e^x-1)/x=limh/log(1+h)=1
x→0     h→0

でいかがでしょうか。また何かあれば。
補足コメント
taropoo

お礼率 53% (212/400)

早く御礼を言わなきゃと検算もせずに返事をしてしまいました。やっぱりまだ分かりません。
なぜ
lim h/log(1+h)=1
h→0
なのでしょうか?自明じゃないですよね?
投稿日時 - 2001-06-04 18:43:03
お礼コメント
taropoo

お礼率 53% (212/400)

素晴らしいです。

> lim(e^x-1)/x=1 の証明は大丈夫?

大丈夫じゃなかったです。何から何までお手数をおかけしました。
またよろしくお願いします。
投稿日時 - 2001-06-04 15:38:57
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  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 51% (16/31)

ロピタルの定理ですぐ2とわかります。 あるいは、e^xとe^(-x)をそれぞれマクローリン展開しますと 分母=(1+x/1!+x^2/2!+...)-(1-x/1!+x^2/2!-...)   =2x/1!+2x^3/3!+... となるのでこれを代入しても答えの2が出てきます。  ...続きを読む
ロピタルの定理ですぐ2とわかります。
あるいは、e^xとe^(-x)をそれぞれマクローリン展開しますと

分母=(1+x/1!+x^2/2!+...)-(1-x/1!+x^2/2!-...)

  =2x/1!+2x^3/3!+...

となるのでこれを代入しても答えの2が出てきます。 
お礼コメント
taropoo

お礼率 53% (212/400)

ありがとうございます。

ただ私の勉強している本(『微分積分学』サイエンス社発行、笠原晧司著)ではド・ロピタルの定理やマクローリン展開が出てくる前にこの問題が出てきます。
出来れば微分の出てこない範囲での回答をお願いしたいのですが。

でもありがとうございました。
投稿日時 - 2001-06-04 12:34:54


  • 回答No.2

こんにちは。 お勉強御苦労様です。 shushouさんのとおりです。 l`Hospitalの法則の説明を (解っているととても楽チンですよ) f(x),g(x)は x=a の近傍で連続で、x=a 以外では微分可能 であるとする。さらに、f(a)=g(a)=0 で、x=a 以外では g`(x)=0 とする。このとき、 lim f(x)/g(x)=k ならば x→a lim f`(x) ...続きを読む
こんにちは。
お勉強御苦労様です。
shushouさんのとおりです。

l`Hospitalの法則の説明を
(解っているととても楽チンですよ)
f(x),g(x)は x=a の近傍で連続で、x=a 以外では微分可能
であるとする。さらに、f(a)=g(a)=0 で、x=a 以外では
g`(x)=0 とする。このとき、
lim f(x)/g(x)=k ならば
x→a
lim f`(x)/g`(x)=k 
x→a

つまり、分母・分子が極限値が0ならば
微分して極限をとるといいのです。

この場合
分子を微分して e^x+e^(-x)
分母を微分して 1
よって、全体の極限はその通り 2 になります。
お礼コメント
taropoo

お礼率 53% (212/400)

ありがとうございます。

shushouさんにも申し上げたように、微分を使わない方法があればおしえてください。
よろしくお願いします。
投稿日時 - 2001-06-04 12:36:44
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