x^2+y^2=1を満たすとき4x^2+4xy+y

質問

x^2+y^2=1を満たすとき4x^2+4xy+y^2の最小値と最大値を求めよという問題です
よろしくお願いします。

回答No.5

178-tall

>x^2+y^2=1を満たすとき4x^2+4xy+y^2の最小値と最大値を求めよ…

まともに拘束条件 x^2+y^2=1 を目的関数 4x^2+4xy+y^2 へ代入してしまう手でも…。

　x^2+y^2=1 → y = √(1-x^2)　　: x∈[-1, +1]
を入れると、
　4x^2+4xy+y^2
　= 4x^2 + (1-x^2) + 4x√(1-x^2)
　= 3x^2 + 1 + 4x√(1-x^2)
の最小/最大-点の探索が課題。

まず (x) 端点では？
　3 + 1 = 4　　(at x=±1)

その間の極値をあたえる x は？
　{3x^2 + 1 + 4x√(1-x^2) }'
　= 6x + 4(1-5x^2)/√(1-x^2)　　　…(1)

右辺の零点は？
(1) を有理化して、
　100x^4 + 100x^2 + 16
の零点を求めると、当然ながら 4 個ある。
有理化のせいで、いわゆる「無縁根」が2 個まぎれこむのでご注意！
(1) へ代入し、零にならぬ 2 個を排除。

残務は、(x) 端点が最小/最大か否かのチェック。

…といった調子です。