対偶法から背理法を導けるという事について

質問

数日前に「対偶法は背理法の1つとして考えることが出来る」
ということについて、質問させてもらいました。
http://okwave.jp/qa/q8360646.html

その事は解決したのですが、
回答の中で書かれていた

「対偶法が先にあれば、背理法を導くことが出来る」

というところが気になっています。
これがどういうことなのかよく理解が出来ません。

「背理法が先にあれば、対偶法が成立をすることを背理法によって導くことが出来る」
というのは私が上の質問で書いてあることだと思います。

これは対偶法を使って背理法が正しいことを導くということなのでしょうか?
もしそうであれば、どのような流れになるのでしょうか?

あまり考える必要がない部分かもしれませんが、どういうことか気になるのでよろしくお願いします。

回答No.3

noname#221368

ほとんど前回言った通りなんですよ。こんな具合です・・・(^^；)。

［対偶法から背理法を導くメタ補題］
　　仮定Ａのもとで仮定￢Ｂを追加したら、￢Ａを導けたとする。

　　　補助仮定の方法より、(￢Ｂ)⇒(￢Ａ)。

　　　対偶法より、Ａ⇒Ｂ。

　　再び補助仮定の方法より、Ａ⇒(Ａ⇒Ｂ)。

　　（本当はちゃんとやるべきですが）Ａ⇒(Ａ⇒Ｂ)は、Ａ⇒Ｂ　と同じ。

　　従って、仮定Ａのもとで仮定￢Ｂを追加し￢Ａを導けたなら、Ａ⇒Ｂが成り立つ。

　そして、次の「定義」を設けます。

[矛盾の定義]
　　Ａと￢Ａの両方を導く理論、もしくは上記に現れたような仮定付きの状況でＡと￢Ａの両方を導く系を、矛盾した理論または矛盾した系と呼ぶ。

　よって補題に対する次の系が得られます。

［系．背理法］
　　仮定Ａのもとで仮定￢Ｂを追加し矛盾したなら、Ａ⇒Ｂが成り立つ。

　・・・無茶苦茶に虚しいですよね？(^^；)。［対偶法から背理法を導くメタ補題］を、定義を用いて言い換えただけです。

補足

皆さんありがとうございます。

ddtddtddtさんに以前回答をいただいたときに
「背理法は対偶法の一種と考えることが出来る」
というようにも考えられる。

と書かれていたのですが

これも「対偶法から背理法を導ける」と同じ考え方で

対偶法が先にあったときに定義によって
対偶が証明されて命題が真になる過程が背理法によって証明されると考える事が出来るため。

ということで

対偶が証明された時に命題が真となる過程が

対偶法で証明されたと考えるか
背理法で証明されたと考えるか

どちらで考えるかで対偶法にもなるし背理法にもなる。

そういうわけで
「対偶法は背理法の一種と考えることが出来る」
「背理法は対偶法の一種と考えることが出来る」

ということになる。

ということでしょうか。

ただ下の場合は対偶法は対偶を示す以外に種類が無いので
「背理法の一部は対偶法と考えることが出来る」のほうが正しいような気がします。
そうするとやはり同じことを言っている事になりますよね。

回答No.2

Tacosan

「対偶法は許すが, 背理法なんて俺は絶対に認めん」
っていってる人に,
「背理法による証明」
をどう納得させますか?

回答No.1

noname2727

私は背理法と対偶の証明方法は本質的に同じものだと考えます。

その根拠は

背理法は結論を否定して矛盾を導く。
つまり　Ａ⇒Ｂが成立するとき、
Ａ⇒Ｂが成立しないと仮定して矛盾を導き出します。
ここで、
Ａ⇒Ｂというのは論理的に書くと、
￢（Ａ∧（￢Ｂ））ということです。
今、仮定したものは
￢（￢（A∧（￢Ｂ））)＝Ａ∧(￢Ｂ）
これは矛盾する（間違っている）ので、この否定が正しい
よって￢（Ａ∧（￢Ｂ））成立する。

これに対して、対偶というものは、
Ａ⇒Ｂということを示すのに、（￢Ｂ）⇒（￢Ａ）を使うのだが、上と同様に論理式で表すと、
（￢Ｂ）⇒（￢Ａ）っていうのは￢（（￢Ｂ）∧（￢（￢Ａ）））＝￢（（￢Ｂ）∧Ａ）

つまり、背理法と対偶というものは本質的に同じものです。

しかし、背理法と対偶が違うものであるという主張も一方であります。

どちらが正しいとは一概にはいえないようです。