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中二 数学 連立方程式 文章題
問 きのこ中学における今年度の生徒数は267人。今年は昨年度に比べ、男子が5%増加し、女子が4%の現象で、全体で2人増加した。今年度の男子、女子の人数を求めてください。 この問題を、あえて今年の男子と女子をxとyで表し、下記のように式を立てて解いてみたのですが、答えと合いませんでした。 x+y=267 x-5x/100+y+4y/100=267-2 どこがおかしいですか?よろしくお願いします。
- unidaisukichan
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- Nebusoku3
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今年の男子と女子をxとyで表すと x+y=267 (1) (これはOK) x-5x/100+y+4y/100=267-2 (これは間違い) x (1-0.05) + y(1+0.04) = 265 (上式を変形しただけで、これも間違い) 仮に昨年の男子生徒が 100人だとして 5%増加とすれば 100 * 1.05 = 105 今年の男子生徒数 この数から去年の男子生徒数を計算した時、 105 * (1 - 0.05) ≠ 100 一致しないですね。 以下の式は合っていると思います。(少し余分な計算もわざと表示しています。) まず去年の男子と女子をそれぞれ x と yで表し計算すると。(基準が去年だから) x + y = 267 - 2 = 265 (1) (これは去年の生徒数) x * 1.05 + y * (1-0.04) = 267 (これは今年の生徒数) 書き直すと ↓ 1.05x + 0.96y = 267 (2) (1)と(2)の連立方程式を解くために (1)式に 0.96 をかけます。 0.96x + 0.96y = 265 * 0.96 = 254.4 (3) (2)式から(3)式を引くと 1.05x + 0.96y = 267 (2) 0.96x + 0.96y = 265 * 0.96 = 254.4 (3) -------------------------------- 1.05x - 0.96x = 267 -254.4 0.09x = 12.6 (両辺に100をかけると) 9x = 1260 x = 140 y = 265 -140 = 125 今年は x * 1.05 = 140 * 1.05 = 147 男子生徒 y * 0.96 = 125 * 0.96 = 120 女子生徒
この問題について、あなたへのポイントは2つ。1つは、増えた人数について。2つ目は、この問題の方程式の立て方です。 1.増えた人数 (今年の人数ー昨年の人数)=増えた人数です。「昨年に比べ」とありますから両辺を昨年の人数で割ったものが5/100, -4/100の増えた人数です。すなわち、(今年の人数ー昨年の人数)/昨年の人数 2.方程式の立て方 このタイプの問題は例外的に、求めたいものをx, y とするよりも昨年の人数をx, y とする方が方程式を立てやすいです。 昨年の男子数+昨年の女子数=267-2 男子の増えた分+女子の増えた分=2 とするわけです。2つめの式のように増えた分だけで式を作った方が、計算が楽ですし、試験でのミスを防げます。 どうしても今年の人数で式を作りたい場合は、昨年の人数をx, y で表す工夫が必要です。それは、今年の人数ー昨年の人数=増えた割合×昨年の人数を変形すると分かります。すなわち、昨年の人数=今年の人数÷(1+割合) これが分かりにくければ、昨年の人数で式を立てることをお勧めします。
- kkanrei
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今年は昨年度に比べ・・・なので昨年度を基準にしなければいけない。 つまり、昨年度の人数が100%として計算しなければならない。 昨年度の男子の生徒数 X人 昨年度の女子の生徒数 Y人 未知数が2つなので方程式を2つ立てなければなりません。 増加した生徒数 男子 5X/100 女子 4Y/100 一つ目の方程式は今年の全生徒数が267人であること 105X/100+96Y/100=267 二つ目の方程式は今年の生徒数が全体で2人増加したこと 5X/100-4Y/100=2 面倒なので二つの方程式の左辺と右辺を100倍する。 105X+96Y=26700 5X-4Y=200 上式を解いて X=140人 Y=125人 これは昨年度の人数なので、今年の人数は 男子 140×1.05=147人 女子 125×0.96=120人 以上。私はもと、国語の教師ですが、これぐらいの数学はわかります。 別解 今年の男女の生徒数をX人、Y人とする 今年は去年の人数に対して 男子 105% 女子 96% 従って、増加した人数は 男子 5X/105 女子 4X/96 今年の生徒数は267人 X+Y=267 今年の生徒数は去年より2人増加 5X/105-4Y/96=2 X/21-Y/24=2 上式は両辺に504を乗じる・ 24X-21Y=1008 連立方程式 X+Y=267 24X-21Y=1008 上式を解くと、今年の生徒数がそのまま計算できます。
- ORUKA1951
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文章題の基本として後から読んでいく!!があります。 問 きのこ中学における今年度の生徒数は267人。今年は昨年度に比べ、男子が5%増加し、女子が4%の現象で、全体で2人増加した。今年度の男子、女子の人数を求めてください。 >この問題を、あえて今年の男子と女子をxとyで表し、 なので、求める数値は「今年度の男子、女子の人数」なのですから、それをx,yとするのがまっとうな方法ですよ。 x + y = 267 (1/1.05)x + (1/0.96)y = 267-2 が式になるはずですね。 (去年の男子の人数)×1.05 = (今年の男子の人数) 両辺に(1/1.05)をかける (去年の男子の人数) = (今年の男子の人数)×(1/1.05) (去年の人数)+2 = (今年の人数) (去年の人数) = (今年の人数)-2 ※以下等幅フォントだと見やすいです。 x + y = 267 0.96x + 1.05y = 265(1.05 × 0.96) x + y = 267 0.96x + 1.05y = 267.12 1 1 = 267 0.96 1.05 = 267.12 (1)*0.96 を両辺から引く 1 1 = 267 0 0.09 = 10.8 両辺を(1/0.09)倍する。 1 1 = 267 (2)式を引く 0 1 = 120 1 0 = 147 0 1 = 120 x = 147 y = 120 x-5x/100+y+4y/100=267-2 が間違っているのは、 ・x-5x/100は今年の人数から比較していること ・y+4y/100も同様 (1/1.05)x + (1/0.96)y = 267-2 でなければいけないですよ。 今年の人数を求めると言う方針で良いのですが、肝心の立式を間違えてしまったのです。
- B_one
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Tacosan すみません。 まだ寝ぼけていたようです。 求めるのは今年度の男女の生徒数でしたね。 やはりx,yは今年の生徒数にしなければだめですね。 したがって#3の式から 去年の生徒数はそれぞれ 男子:x/(1+0.05) 女子:y/(1-0.04) これでよいのかな?
- Tacosan
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「x,yは昨年度の人数として計算しなければなりません。」というのは語弊があるのではないかな>#4. 「その方が簡単」というならともかく, 「そうしなければ解けない」ってことはないわけで.
- B_one
- ベストアンサー率55% (246/445)
#2です ごめんなさい、寝ぼけてました。 昨年度に比べて男子5%増、女子4%減ですから x,yそれぞれ今年の生徒数として計算したところに間違いがあります。 x,yは昨年度の人数として計算しなければなりません。 したがって、 x+y=267-2 0.05x-0.04y=2 になるはずです。 まだ寝ぼけてなければですが・・・・・
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
つまり (今年の男子の数) = (1 + 0.05)×(去年の男子の数) となるわけだ. この式から (去年の男子の数) = (1 - 0.05)×(今年の男子の数) となる?
- B_one
- ベストアンサー率55% (246/445)
x+y=267 x-5x/100+y+4y/100=267-2 これを整理すると、x+y-(5x-4y)/100=267-2 0.05x-0.04y=-2 ??? 昨年度の男子5%増、女子4%減で2人増えたわけだから、 -2ではなくて+2では?
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補足
今年の生徒数:x+y=267 去年の生徒数:x-5x/100+y+4y/100=267-2 です。 今年は去年に比べて2人増加だから、去年の生徒数は今年の生徒数-2であってるはずなんです。