積分の証明です。

質問

画像の(iii)が解けません。

Q_n はｎ+2次の多項式です。

λ_1,...λ_nというのは実数で

Σλ_j・ｊ^k=0 　(j=1～ｎの総和）　（kは　１≦ｋ≦ｎ-１）

Σλ_j・j^n=1 (j=1～nの総和)

です。

Fの構成の仕方が分かりません。よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44

画像が小さくて読めない。
Q_n と λ_k の関係を、補足に
文章で説明してもらえないだろうか？

補足

すみません。補足させていただきます！
まず,Q_nについて
n+2次の実多項式で,Q_n(1)=Q_n(0)=0
∫Q_n(t)dt=1 積分区間は[0,1]
∫t^r・Q_n(t)dt=0 積分区間は[0,1] 1≦r≦n-1

そして関数f_n(t)を
f_n(t)=Q_n(t) (0≦t≦1), 0 (otherwise)
と定義します。
最初に三つ並んでいる式は
∫t^r・Σλ_j・f_n(t-ja)dt=0　(0≦r≦n-1)

∫t^n・Σλ_j・f_n(t-ja)dt=a^n

∫|t^r・Σλ_j・f_n(t-ja)|dt≦A|a|^r (r≧0)

積分区間は全て-∞～∞
Σの和は全てj=1～n
Aはf_nとλ_1,....,λ_nに依存するものです。

問題iiiは
自然数nとS>0,ε>0が与えられたとき,連続関数Fと実数R>S
で次の５つを満たすものが存在することを示す問題です。
(a) ∫t^r・F(t)dt=0 (0≦r≦n-1)
(b) ∫t~n・F(t)dt=1
(c) ∫|t^r・F(t)|dt<ε (0≦r≦n-1)
(d) |F(t)|<ε tは実数
(e) F(t)=0 tは[1,R]に入っていない

よろしくおねがいします。
また不明瞭な点がありましたら言ってください。