この確率の計算のやり方を教えてください

質問

1～50までの番号を50回発表する。
通常通り1回分の場合は番号が被る可能性があるが、発表回数を2回分消費することで今までに発表されていない番号が必ず発表される。
また通常発表される50回とは別に8回だけ好きな番号を自分で指定し発表させることができる。
1～50の中からランダムに指定された25個の番号が全て発表される確率の最も高い方法を答えよ。

回答No.7

MagicianKuma

思いつきで答えて恐縮だけれど、動的な戦略が必要なのかとも思ったりして。
すなわち1回ごとの発表の結果によって（期待された番号が出た場合と出なかった場合）戦略が変化するのでは？

回答No.6

MagicianKuma

No5さんのおっしゃるとおり。No4の回答撤回します。
少なくとも、指定できる8回は最後に持ってきた方が自由度があって全然良いねぇ。
そして、最初のうちは重複するリスクより発表回数を優先した方が良い感じがするね。
まじめにやるとちょい面倒な計算になるかなぁ。うまい手ないかねぇ。

回答No.5

stomachman

まずANo.2の訂正です。

C発表は「50回」に含めない別勘定でした。なので

> C(t)発表: Δp=1, Δq=1, x=t

のところを

C(t)発表: Δp=0, Δq=1, x=t

に訂正。

ANo.4さん <

(3)「可能な選択肢の全てについて等確率で、ランダムにxを決める」
に従うという条件でお考えであろうかと。その場合、ANo.4にお書きの解は少なくとも最適じゃないでしょう。なぜなら：

まず2回、通常通りの発表（A発表）を行う。（49/50の確率で2個、1/50の確率で1個の番号が発表済みになる。）
それから24回、今までに発表されていない番号が必ず発表される発表（B発表）をやる。そして8回、好きな番号を自分で指定し発表（C発表）。

そうすると、50個の番号のうち、49/50の確率で残り16個、1/50の確率で残り17個が未発表。こっちの方がANo.4の解より約50倍有利になりそうです。

てことは、問題は「最初にA発表を2j回、次にB発表を25-j回、最後にC発表を8回行う。jは幾らが最適か？」では？

回答No.4

MagicianKuma

問題設定が理解できないのだけれど、No2さんの回答にそって考えてみるとしますね。
最適な戦略：
(1)8回の指定発表を最初に使用する。
(2)その後は、発表回数を2回分消費することで今までに発表されていない番号を発表させる。25個の発表。
すると、最初の指定発分は(2)では出てこないので、出てくる数値は50-8=42種類のどれかがかぶることなく25種類出てくるはず。場合の数は42C25。このうち出てほしい17種類(8個は(1)で出ている)が含まれる場合の数は17C17(ほしいものを全部とってくる) X 25C8(出なくても良いものを8個選ぶ)。なのでコンプリートする確率は(17C17)*(25C8)/(42C25)≒4x10^-6

回答No.3

alice_44

質問の文章に、
どうにも一貫しない部分があるのだけれど…

どう解釈するにせよ、戦略としてできることは、
50 回の発表が全て終わってから、
それとダブらないように 8 回の発表を指定する
ことだけ。

後は、1～50 の各番号が、名目的な区別に過ぎず、
皆対称である(よね？)ことから、何をやっても
コンプリートの確率は同じになる。

そうでない意見が聞きたければ、
男性週刊誌の後ろのほうのページにある
ロトについてのたわごとでも読むしかない。

回答No.2

stomachman

以下のようなゲームの話であろうかと思います。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
[1]ゲームの開始
R⊂{1,2,…,50}, 要素数|R|=25であるようなRが決められている。
p=50, q=8, H={1,2,…,50}　である。

[2]ゲームの終了と継続
H∩R=∅ （∅は空集合)になったら「コンプリート」。
H∩R≠∅ かつ p=0になったら「失敗」。
どちらでもない場合、「自分」は「発表」を行う。

[3]「発表」
[3-1]「発表」を行うには、「自分」が以下の3種類の発表のうちから選ぶ。
・ただし、選ぶ発表はp≧Δpかつq≧Δqでなくてはならない。
　A発表: Δp=1, Δq=0, x∈{1,2,…,50}
　B発表: Δp=2, Δq=0, x∈H
　C(t)発表: Δp=1, Δq=1, x=t　(tは「自分」が指定する）

[3-2] 発表を選ぶとΔp, Δq, xが決まる。すると、
・ H を H＼{x} で置き換える。
　（ただしH＼{x} とは「x∈Hなら、Hからxを取り除いたもの。さもなくばH」のこと）
・ p を p-Δp で置き換える。
・ q を q-Δq で置き換える。
ということが自動的に行われ、これで発表が完了する。
==================================

という話で宜しいでしょうか？

　で、ご質問はコンプリートの確率が最大になるような、「自分」の取る戦略をお尋ねである。

　それを考えるには、しかし情報が不足です。

● 「自分」はRを知っていてゲームをプレイするのかどうか。
● 発表を行ったときに決定されたxを、「自分」はその時点で知るのかどうか。
● 発表を行ったときに決定されたxがx∈Rなのかどうかを、「自分」はその時点で知るのかどうか。
● 発表を行ったときに決定されたxがx∈Hなのかどうかを、「自分」はその時点で知るのかどうか。

これらが違うと、ゲームの性質が全く異なるものになるでしょう。さらに、

●A発表とB発表におけるxの決め方

が分かっていないと、そもそも「ある戦略Sにおけるコンプリートの確率」の計算すらできない。
　ここで「xの決め方」とは、たとえば、
(1)「コンプリートを達成させるようにxを決める」（この場合、失敗が不可能であることは容易に証明できる）
(2)「コンプリートを妨げるようにxを決める」（この場合、コンプリートが不可能であることは容易に証明できる）
(3)「可能な選択肢の全てについて等確率で、ランダムにxを決める」
(4)「可能な選択肢の全てについて、奇数の番号が偶数の番号の2倍の確率で選ばれるように、ランダムにxを決める」
(5)「『xは(3)に従って選ばれる』という帰無仮説を10回ゲームを行って得た記録に基づいて検定しても棄却できないようにxを選び、かつ、できるだけコンプリートを妨げる」
(6) 「ゲームを繰り返したときに、コンプリートが生じる頻度がある目標値に近くなるように、(1)～(3)を適宜混合する」
などなど、幾らでもあるわけで、もちろん(5)や(6)のような場合にはもっと具体的にxの決め方を知る必要があります。