2重円筒の電場

質問

写真の左の図のような２重円筒に関しての質問です。電流Ｉは無視してください。

この時、中心軸からの距離xに応じた電場を求めたいのですが、
円筒に挟まれた領域では写真の右図のようなになることはガウスの法則を用いて求めることができましたが、二つの円筒より外で図のような電場になることが分かりません。

円筒の半径より大きいxのとき、ガウスの法則を適応させれば正味の電荷は０になり、電場も０となるように思うのですが、正しくはどう考えればいいですか？

よろしくお願いします。

回答No.4

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

> 図のように電池を繋いだ場合、また内側の円筒に正の電荷を与えた場合それぞれで、
> 外側の円筒を接地したとき、電荷の様子はどのようになるのでしょうか？

この場合，接地というのは無限遠と外側円筒を導線で結ぶことをいいます．
導線で結ばれると一体の導体となりますから，
外側円筒と無限遠とは等電位で，それらの間に電場はありません．

この状況は電池をつないだときも同じですから，
電池の場合では外側円筒を接地しても変化は起きません．

次に内側円筒にのみ電荷を与えた場合．
接地する前に外側導体円筒の外側表面にあった電荷(総量-Q，単位長さ当たり)は
無限遠に移動します．
したがって，R+d < x <∞ で円筒にガウスの法則を適用したときに，
その内部の電荷の総和はゼロになっていて(内側円筒外側表面に Q，外側円筒内側表面に -Q)，
この部分での電場がゼロであることと符合します．
接地しないときは，内側円筒外側表面に Q，外側円筒内側表面に -Q，外側円筒外側表面に Q，
でした．

> 電池をそのまま接地するというのはなんとなくおかしな気もしますが…

そんなことはないです．
この円筒は要するにコンデンサーです．
コンデンサーに電池をつないだ単純回路を作ったときに，
電池の負の側をアースしようとしまいと別に変化がないのと同じことです．

お礼

＜この場合，接地というのは無限遠と外側円筒を導線で結ぶことをいいます．

この説明で上手く理解できました。
また、円筒をコンデンサと見なせば良いのですね、とても参考になりました。

何度も返答していただきありがとうございました。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

>なぜあきらかなのでしょう

電場の形とガウスの定理からです。
外側の電極の内側表面にマイナス電荷が、外側表面に同量のプラス電荷があることはちょっと考えればわかりますよね。A NO 3 の詳細な分析の通りです。このような電荷の配置は両極に電池をつないだだけでは得られませんが、それに至った手順があるはずです。

お礼

返答遅れてしまい、申し訳ありません。

問題文は、

厚みdでできている、図のような無限に長い２重円筒が真空中におかれている。真空の誘電率εとして以下の問いに答えよ。
２本の導体間の電位差をＶとする。中心軸からの距離をxとして
電場の大きさを求め、図示せよ。

この問題内容だけではtknakamuri さんがおっしゃっているような手順は問題の中には書かれていないと言ってしまっても大丈夫でしょうか？

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

図だけではよくわからないですが、外側の電極の
電荷の合計が0であることはあきらかなので、
外側の電極に電池を使って電荷を送り込んで
いることはありえません。問題文にその
からくりがかいてあるのだと思いますよ。

補足

返答ありがとうございます。

＞電荷の合計が0であることはあきらかなので、

なぜ明らかなのでしょうか？
初歩的なことかもしれませんが、よろしくお願いします。

回答No.3

siegmund

siegmund です．

> この問題の解答には図の右のように、円筒間の電場と同じ形で与えられるとあるので、
> ０ではないということなんですが、解答が間違っている、
> もしくは私が問題を読み間違えるているということでしょうか？

(a') 円筒は導体．
(b') 電荷は与えていない．
(c') 電池をつなげている．
という条件でしたら，解答が間違っています．

> また、図のような電場が与えられるという条件はどのようなものか、
> そもそもこのような電場が存在するのかについて教えていただけると助かります。

内側の円筒に電荷を与えたとします．
電荷は円筒の単位長さ当たり Q としましょう．
電池はつないでいません．
導体の性質として与えた電荷は表面にのみ存在しますが，
この場合は内側円筒の外側表面(半径 r+d のところ)に存在し，
内側表面(半径 r) には存在しません．
もし内側表面に電荷があると，内側の導体円筒内を通る円筒面 S にガウスの法則を適用したときに
矛盾が生じます．
つまり，S 内の電荷の総和はゼロではないですが，S 表面の電場の面積分はゼロです
(∵導体内では電場はゼロ)．
で，外側の円筒ですが，静電誘導により外側円筒の内側表面には単位長さあたり -Q の電荷が，
外側表面には単位長さあたり Q の電荷がそれぞれ誘起されます．
こうなっていないと上と同じ理屈によって，
外側の導体円筒内を通る円筒面 S’にガウスの法則を適用したときに矛盾が生じます．
もともと外側円筒には正味の電荷はなかったのですから，
内側表面の電荷と外側表面の電荷を合わせればゼロです．
以上の状況を頭に入れてガウスの法則を使えば
(1)　　x < r，R < x < R+d のとき E = 0
(2)　　x< r+d，x> R+d のとき E = Q/(2πε_0 x)
が得られます．
円筒間の電位差は V は E を積分して
(3)　　V = (Q/2πε_0) log[R/(r+d)]
ですから，(2)は
(4)　　E = (1/x) {V/log[R/(r+d)]}
となって，質問の図にある式と同じになります．

> さらに、円筒間を電池で繋いだ場合、
> 円筒はそれぞれ同じ大きさの符号の異なる電荷を持つという解釈であっているでしょうか？

それで合っています．
詳しくいうなら，内側円筒の外側表面と外側円筒の内側表面に
それぞれ同じ大きさの符号の異なる電荷が存在します．
この状況は先ほど話で外側円筒の外側表面の電荷がないとの同じことです．
先ほどは内側円筒と外側円筒は電気的に完全に離れていました．
今度は電池をつないだために両者は電気的につながっていて，
外側円筒から内側円筒に電荷が移動したと思えばよいのです．
移動電荷量は r+d から R までの電位差がちょうど電池の電圧の V になるように決まります．
この場合は x>R の内部の総電荷量はゼロですから，
ガウスの定理を使えば x>R で電場がゼロであることがわかります．

補足

返答ありがとうございます。

なるほど、問題の解答は電荷を与えた場合の結果だったんですね！

＜内側表面(半径 r) には存在しません．
＜もし内側表面に電荷があると，内側の導体円筒内を通る円筒面 S にガウスの法則を適用したときに
＜矛盾が生じます．

また、この説明もとても助かりました。
さらに、電池を繋いだとき電荷が移動するという考えも当たり前なことかもしれませんが、正確に理解していなかったので助かりました。

ここで再度質問なのですが、
図のように電池を繋いだ場合、また内側の円筒に正の電荷を与えた場合それぞれで、
外側の円筒を接地したとき、電荷の様子はどのようになるのでしょうか？

電池をそのまま接地するというのはなんとなくおかしな気もしますが…
電荷を与えた場合については、外側の電荷が同じ大きさの負の量を持っているのが変化すると思うんですが、どのように変わるかが上手く理解できていないので、その辺りを教えていただきたいです。

何度もすいませんが、よろしくお願いします。

回答No.2

siegmund

ものの配置は図の通りだとして，
(A) 円筒は絶縁体なのか導体なのか．
(B) 電荷は与えたのか，与えたのならどのように与えたのか．
(C) 電池は図のようにつなげているのか．
を明確にしないと議論が出来ません．

答の図のようになるには，
(a) 円筒は導体．
(b) 内側の円筒のみに電荷を与えた(このために電位差 V が生じた)．
(c) 電池はつなげていない．
が必要です．

もし，
(a') 円筒は導体．
(b') 電荷は与えていない．
(c') 電池をはつなげている．
なら x > R+d の電場はゼロです．

あと，
○ 円筒は半径に比べて十分長い
○ どちらかの円筒をアースしてはいない．
でよいのですよね．

補足

回答ありがとうございます。

おっしゃるとおりです、申し訳ありませんでした。

＜(a') 円筒は導体．
＜(b') 電荷は与えていない．
＜(c') 電池をはつなげている．

この3つの条件であっています。
円筒は無限遠に伸びていて、接地もされていないです。

＜なら x > R+d の電場はゼロです．

やはり、電場０ということなんですか…
この問題の解答には図の右のように、円筒間の電場と同じ形で与えられるとあるので、０ではないということなんですが、解答が間違っている、もしくは私が問題を読み間違えるているということでしょうか？

また、図のような電場が与えられるという条件はどのようなものか、そもそもこのような電場が存在するのかについて教えていただけると助かります。

さらに、円筒間を電池で繋いだ場合、円筒はそれぞれ同じ大きさの符号の異なる電荷を持つという解釈であっているでしょうか？

重ねて、質問してしまい申し訳ありませんが、回答よろしくお願いします。

回答No.1

uen_sap

電流が流れているのではないですか？

補足

回答ありがとうございます。

電流は同じ円筒を使った次の別の問題に出てくるものなので、ここでは使用しないです。