留数

質問

画像の三つの留数の解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(2)
cos(z)=0 より z=nπ+π/2=(2n+1)π/2 (n=0,±1,±2, … )

Res(f,(2n+1)π/2)
=lim[z→(2n+1)π/2] (e^z){z-(2n+1)π/2}/cos(z)
=-{(-1)^n}e^((2n+1)π/2) (nは任意の整数,n=0,±1,±2, … )

(3)
Res(f,0)=lim[z→0]sin(z)/{z(z+4)}=1/4
Res(f,-4)=lim[z→-4]sin(z)/(z^2)}=-sin(4)/16

(4)f(z)=e^(ibz)/(z^2+a^2),(a>0,b>0)
z^2+a^2=0より　z=ia,-ia
Res(f,ia)=lim[z→ai]e^(ibz)/(z+ai)=-ie^(-ab)/(2a)
Res(f,-ia)=lim[z→-ai]e^(ibz)/(z-ai)=ie^(ab)/(2a)

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

Water_5

(e^z)/(cos z)

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回答No.2

alice_44

f(x) = g(x)/h(x) のとき、
f の特異点は g の特異点と h の零点で網羅できます。
(その全てが特異点という訳ではなく、
その範囲を探せば見逃しがない…ということ。)

(2)
e^z は整関数ですから、(e^z)/(cos z) の特異点は、
cos z の零点が極の候補になるだけです。
cos z の極は、z = π/2 + kπ (kは整数) に
1 位の零点があるのが全てです。
また、z = π/2 + kπ は e^z の零点ではありません。
よって、(e^z)/(cos z) の特異点は、
z = π/2 + kπ (kは整数) にある 1 位の極
ということになります。

n 位の極 z = a における留数は
= lim[z→a] (d/dz)^(n-1) {(z-a)^n f(z)}
ですから、(2) の場合は、
lim[z→ π/2+kπ] (z-a)(e^z)/(cos z) を
計算すればいいことになります。

答えの値は、A No.1 で合っているようです。

(3)
同様に、sin z が整関数なので、
(sin z)/{(z^2)(z+4)} の特異点は、
分母の零点が極の候補になるだけです。
z = 0 と z = -4 がソレですが…

z = 0 は sin z の 1 位の零点であり、
分母の 2 位の零点でもあるので、
(sin z)/{(z^2)(z+4)} の 1 位の極です。
1 位の極の留数は、上記のとおり
lim[z→0] z(sin z)/{(z^2)(z+4)}。

z = -4 は、分子の零点でないので、
(sin z)/{(z^2)(z+4)} の 1 位の極とすぐ判って、
留数は、
lim[z→-4] (z+4)(sin z)/{(z^2)(z+4)}。

答えの値は、A No.1 で合っているようです。

(4)
これも、分子は整関数なので、
特異点の候補は、分母の零点だけです。
z = ±ia が、分母の 1 位の零点であり、
分子の零点ではないので、
e^(ibx)/(z^2+a^2) の 1 位の極になります。
上記と同様に、1 位の極の留数は、
lim[z→ia] (z-ia)e^(ibx)/(z^2+a^2),
lim[z→-ia] (z+ia)e^(ibx)/(z^2+a^2)。

答えの値は、(以下同文)

お礼

ありがとうございました！