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ロピタルの定理を用いた極限の問題
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- alice_44
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失礼。なんか重大な誤字が。 約分してから、ロピタルに持ち込むんですよ。 ↓ 通分してから、ロピタルに持ち込むんですよ。
- alice_44
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(4) は、そう。 再び不定形になって、再びロピタルが使える ということです。 2 回目のロピタルの結果は、書いてほしかったな。 2 回反復できれば、n 回反復もできるはずだから。 (5)(6) については、 変形してからロピタルを使えと 前回質問にも書いたし、今回 A No.1 にも書いた。 具体的な前処理も書いておいたでしょう? (5) は、 (cos x)/(sin x) にロピタルを使うんじゃない。 (cos x)→1 だから、ロピタルが使える形じゃないし、 そこだけ変形しても、1/x が発散するから ∞-∞ 型の不定形になるだけです。 約分してから、ロピタルに持ち込むんですよ。 回答には、目を通してほしいな。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
ok. できてるじゃない。 貴方の導いた右辺が、再び、ロピタル適用可能な 極限になっていることは、理解できる? 理解できたら、その右辺にもう一度 ロピタルの定理を適用して、結果を補足へどうぞ。 それが、ロピタルを 2 回反復するということだ。
補足
不定形だから定理が使えるということですか? 教科書みたら(4)は結局0になることが分かりました (5)はlim [x -> 0] sinx/cosx=0/1 となってしまいました (6)はlim [x ->+ 0] logx/(1/x) =lim[x ->+ 0] (1/x )/{(-1)/x^2} となりどうしていいか分かりません 定理に適用さえ出来ない次第です
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
だから、ロピタルはやめとけって言うのに、 頑固だねえ。 ロピタルを使うと、考えないクセをつけるし、 迷信されてるほどには、計算が簡単にならない。 あれは、アホの子の道具だ。 どうしても使いたいなら、 単なる公式適用だから、自分でやってごらん。 lim[y→∞](yのn乗)/(eのy乗) に ロピタルを 1 回使うと、どうなるか? それを補足に書けば、反復使用がどうなるか 説明しましょう。
補足
頑固というかそういう指定の問題で… (6)番でロピタル使って見ました lim[y -> 無限] ny^n-1/e^y
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
前回、方針だけで終わったので、 解答例も書いておこうかな。 もちろん、ロピタルじゃないほうの。 (4) y = log x で置換すると、 lim[x→∞](log x)^n/x = lim[y→∞]y^n/e^y. e^y をマクローリン展開すると e^y = Σ[k=0→∞](1/k!)x^k で、 右辺は各項正だから、n+1 次項だけ取り出すと e^y > (1/(n+1)!)y^(n+1). よって、 0 < y^n/e^y < y^n/{(1/(n+1)!)y^(n+1)} = {(n+1)!}/y → 0 ; when y→∞. よりハサミウチで、lim[y→∞]y^n/e^y = 0. ロピタルを使うなら、 lim[y→∞]y^n/e^y に n 回反復して使う。 (5) sin と cos のマクローリン近似 sin x = x - (1/6)x^3 + o(x^3), cos x = 1 - (1/2)x^2 + o(x^2) を 与式を通分したものに代入すると、 1/x - (cos x)/(sin x) = {(sin x) - x(cos x)}/{x sin x} = {(x - (1/6)x^3 + o(x^3)) - x(1 - (1/2)x^2 + o(x^2))}/{x(x - (1/6)x^3 + o(x^3))} = {(1/3)x^3 + o(x^3)}/{x^2 - (1/6)x^4 + o(x^4)} = {(1/3)x + o(x)}/{1 - (1/6)x^2 + o(x^2)} → 0 ; when x→0. よって、lim[x→0]{1/x - (cos x)/(sin x)} = 0. ロピタルを使うなら、 lim[x→0]{(sin x) - x(cos x)}/{x sin x} に 2 回反復して使う。 (6) lim[x→+0]x^x = lim[x→+0]e^(log(x^x)) = e^( lim[x→+0](x log x) ). y = - log x で置換すると、 lim[x→+0](x log x) = lim[y→+∞](e^-y)(-y) = - lim[y→+∞]y/(e^y). これは、(1) の n = 1 の場合にあたり、 lim[y→+∞]y/(e^y) = 0. よって、lim[x→+0]x^x = e^0 = 1. ロピタルを使うなら、 lim[x→+0](x log x) = lim[x→+0](log x)/(1/x) に対して使う。
補足
反復して使うとどうなるかその過程まで書いて頂けたら幸いです 理解が遅くてすみません
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お礼
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