因数分解

質問

x^8-1 の因数分解を教えてほしいです。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

通常因数分解というと有理数の係数の範囲の因数分解かと思いますが、それでよろしいですか？

そうだとすれば公式:A^2-B^2=(A-1)(A+1)を繰り返し使って

x^8-1=(x^4)^2-1^2=(x^4-1)(x^4+1)
={(x^2)^2-1^2}(x^4+1)
=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)
=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)

となります。

回答No.7

alice_44

虚数なんて習ってない…とかで、お茶を濁してはイケナイ。
同じことは、(xの2乗)-2 の因数分解でも起こるから。
√2 は、さすがに習っていると思うのだ。

これは、「因数分解」とは何か？ という
定義の確認の話だ。目先の公式運用よりも、大切なこと。

回答No.6

noname#180442

まあ、実数の範囲でしょうね。m^2-1だったら出来るのにと希望を持ってば、(x^4)^2-1となって第一段階終了。でも、まだ( )の中に2乗ー１がで出来そう。さらに因数分解して第二段階終了。再度（）の中にありますね。

回答No.5

alice_44

通常、因数分解と言えば、係数の範囲を指定して初めて
意味を持つのだ ということは、理解しておいたほうがいい。

実係数とか有理係数とかを空気読んで当てろというのは、
超能力の検定であって、もはや数学ではない。

難しい話はともかく、最低限の常識というものはある。

回答No.3

Nakay702

x^8-1 = (x^4+1) (x^4-1)
= (x^4+1) (x^2+1) (x^2-1)
= (x^4+1) (x^2+1) (x+1) (x-1) ……（答え）

これ以下は、 虚数単位 ( = i ) を利用することになりますが、
通常の因数分解はこれをもって解とします。

回答No.2

alice_44

x^8-1=0 を解いて、因数定理を使えば
一次式の積に分解できます。

x^8-1
=(x-e^0)(x-e^(iπ/4))(x-e^(2iπ/4))(x-e^(3iπ/4))(x-e^(iπ))(x-e^(5iπ/4))(x-e^(6iπ/4))(x-e^(7iπ/4))
=(x-1)(x-(1+i)/√2)(x-i)(x+(1-i)/√2)(x+1)(x+(1+i)/√2)(x+i)(x-(1-i)/√2).

i は虚数単位です。

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

x^8 = (x^4)^2
x^4 = (x^2)^2

です。
これと、

a^2 - b^2 の因数分解の公式を使うと解けます。