（カジノゲーム）クラップスの期待値の検証

質問

ダイスの出目を競う「クラップス」と言う
カジノゲームの期待値についての検証を行いました。

参考URL
http://www.casi-navi.com/game.senjutsu.craps.html
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

こちらの計算式をご覧ください。
http://www.geocities.jp/currydoscope/0520.jpg
オッズベットをしない場合と、オッズベットを最大にする場合の期待値を計算したところ、
オッズベットを最大にすると、なんと「1.1394」もプラスになりました。

オッズベットは、
p(4)とp(10)のベットは元金の３倍が限度, （当たると３倍になる）
p(5)とp(９)のベットは元金の４倍が限度,（当たると2.5倍になる）
p(6)とp(８)のベットは元金の５倍が限度,（当たると2.2倍になる）
という条件です。

この計算は、どこかが間違っているのでしょうか？

確率問題などに詳しい方、どうぞよろしくお願いします。

回答No.5

MagicianKuma

こう考えても良いです。オッズをやらない場合は毎回1単位を賭けます。オッズを使う場合は、賭け金が異なります。なので、平均でいくら賭けたのか？ということです。

お礼

なるほど。
それなら、分かる気がします。

（最初の１回に必要な手数料の「0.0141」が、その後に手数料「0」で出来る回数を加えた全体の回数で割る事が出来るということ。）
というイメージになりました。

オッズを賭ければ賭けるだけ、「0.0141」を割れる値が増えるから、
【一回あたり】の手数料としては下がるという事なのでしょう。
けれど、その結果が出た時には、合計で払っている手数料は結局「0.0141」なのですね。

例えば、シングルオッズの場合は、
p(4),p(5),p(6),p(8),p(9),p(10)の時に１回増えるということなので、
1+(3/36*1+4/36*1+5/36*1)*2=1+24/36=1.6666回となります。
-0.0141/1.6666=-0.0084603

ダブルオッズの場合は、2回増えるということなので、
1+(3/36*2+4/36*2+5/36*2)*2=1+48/36=2.3333回となります。
-0.0141/2.3333=-0.006042
ここまで来て、
http://www.craps-10jqka.com/rules/bets/PassLine/OddsBet.html
これが理解できました。

ありがとうございました。

ちなみに、97年の記事ですが、こんなものを見つけました。
http://www.lvtaizen.com/_backnum/html/lva70331.htm
100倍の場合の期待値は、「-0.00020837」ですね。

補足

同様に、ドントパスの場合も
オッズベットをやればやるほど期待値のマイナス分が減り、得になりますよね？

しかも×6までのオッズベットが出来るので、
-0.136(ドントパスの期待値)が、「-0.00272」まで下がると思います。

http://www.casi-navi.com/game.senjutsu.craps.html
このサイトでは、ドントパスのオッズベットするのは損で有ると、書いてありますが、
期待値のマイナスが減る割合が高いし(×6まで出来る)、
2/3,3/5,6/11と、勝つ確率が高いし、
勝負を掛ける方が良さそうだと感じました。

回答No.4

MagicianKuma

>追加の賭け・・・の確率で当たるので
追加ベッドに勝つかどうかではありません。追加ベッドができる確率です。なぜなら、今考えようとしているのは、賭けが何回行われるかを考えているからです。

回答No.3

MagicianKuma

＞オッズに参加する方がトータルで考えた時に、カムアウトロール時のマイナスの期待値から改善されると思っていたのですが、そういうもんでもないのですかね？
改善されます。勘違いの元は、1単位当たり何回の賭をやったことになるかを考えてないからです。
オッズに参加しない時の期待値-0.0141は1単位1回の賭をやったときの期待値になります。オッズに参加すると言うことは、ポイント4のとき3単位オッズするというのは3回余分に賭をやったことに相当します。なので、それぞれのポイントの出る確率3/36,4/36,5/36,5/36,4/36,3/36に対して余分に3回,4回,5回,5回,4回,3回の追加の賭をやったことになります。最初の賭と合わせると1+(3/36*3+4/36*4+5/36*5)*2=3.77回。なので1回当たりの期待値は-0.0141/3.77=-0.0037とみなすのが妥当かと。

補足

クラップスのオッズベッドは、
例えば、カムアウトロールで4が出てしまった場合に、ベット金額を追加し、
次回以降で、4が出るのが早いか、7が出るのが早いかを賭けるということになります。
(カムアウト云々とは別の新たな賭けとも言える)
その際の確率が1/3で、当たれば3倍に成ります。・・・p(4)の場合

そして、追加の賭け(オッズベッド)は、
p(4)の時に3/9,
p(5)の時に4/10,
p(6)の時に5/11,
の確率で当たるので、

それを踏まえると、
1+(3/9*2+4/10*2+5/11*2)*2=5.7515回となり、
-0.0141/5.7515=-0.002451と、
期待値は-0.002451まで下がりますか？

回答No.2

rnakamra

○の時の値が全て大きくなっています。

p(4)を例にすると
まず最初に"1"ベットする。
4が出る。
この段階で"3"追加でベットする。
この後、7の前に4が出る。

この確率の計算は問題ないと思います。問題は戻り。
最初の"1"に対して"2"戻る。・・・+1
オッズベットの"3"に対して"9"戻る。・・・+6
ですので+7が正解。全てオッズベットをした分、元の掛け金が引かれていません。

補足

ありがとうございます。
おかげさまで、ミスが分かりました。

ご指摘の通り、オッズを賭ける分の自分の元の掛け金まで、還元金に含めてしまっていたという間違いでした。
http://www.geocities.jp/currydoscope/0521.jpg
そこで修正した所「－0.0141」と、オッズ無しと同じ数値になりました。

ここで、新たな疑問です。

オッズ分の期待値は０（マイナスではない）なので、
オッズに参加する方がトータルで考えた時に、カムアウトロール時のマイナスの期待値から改善されると思っていたのですが、
そういうもんでもないのですかね？

「半丁博打に最初は1.4%の手数料を払って参加して、2回目は手数料が掛からないから計0.7％の手数料になる」
みたいなイメージで考えていました。

回答No.1

MagicianKuma

計算の考え方は会ってると思いますが、戻り値の倍率が変です。4の時の倍率3倍なんてカジノ無いと思います。オッヅ賭けの期待値は完全に0ですから、最初の賭けと合わせて0に近づくだけです。

補足

p（4）の場合にオッズに３賭けて、戻ってくる額が9でした。
おっしゃるとおり、
この計算シートではそのまま3倍になっている事になるので、
正しくは、オッズの掛け金を引いた６を足して「７」が正解のようですね。（2倍になって戻る）

そこで、数値を修正してみたのですが、
オッズ無しと期待値が同じになってしまいました。