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数学 ルートi の値について

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お礼率 63% (197/308)

√-1と言う結果が出た場合、どのような値にすればいいのでしょうか?

例えば
√1と√-1ではどちらが大きいのか? 比でで表すと、何対何?
1:√i ←これではだめです(^_^;)
√-1と言う値は、結果として影響を与える数字ではないから「0」としていいのか?
符号を消して「1」として扱うか?
結果としてでているので相殺できません。

困ってます(^_^;)
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回答 (全20件)

  • 回答No.19
レベル10

ベストアンサー率 14% (17/114)

√(-1)=1=-1ですよ ちなみに√(1)=1=-1です。
√(-1)=1=-1ですよ
ちなみに√(1)=1=-1です。


  • 回答No.9
レベル11

ベストアンサー率 31% (81/257)

電磁気だけでなく、音もそうですね。要するに「波」を扱う場合、複素数は大変便利です。実は他の「音」に関するスレッドで、大ボケかましてsigmundさんに助けて頂き、訂正とお礼を言おうと思ったら締め切られてしまいました。この場をお借りして改めてお礼申し上げます。 実数値を幾何的・直観的に表現するのに、一次元的な「数直線」で表現できますが、複素数を表わすには、2次元的な「複素平面」が必要です。視野を2次元 ...続きを読む
電磁気だけでなく、音もそうですね。要するに「波」を扱う場合、複素数は大変便利です。実は他の「音」に関するスレッドで、大ボケかましてsigmundさんに助けて頂き、訂正とお礼を言おうと思ったら締め切られてしまいました。この場をお借りして改めてお礼申し上げます。

実数値を幾何的・直観的に表現するのに、一次元的な「数直線」で表現できますが、複素数を表わすには、2次元的な「複素平面」が必要です。視野を2次元的に広げると複素数が理解できます。一次元的な視野だといつまで経っても理解できません。2次元のものの一次元的な「影絵」だけを見ることになるからです。

「No.1」で申し上げたとおり、「i」は複素平面での成分表示で(0,1)であり、

・ 長さ=1.0
・ 「東」からの反時計回り角度=90°。これを「偏角」といいます。

です。この平面で半径=1.0の円を想像して下さい。実数の1.0も、「i」も同じ円周上にあります。当たり前ですが原点から等しい距離です。これを絶対値といいます。「大きさ」ですね。この例の場合、どちらも「大きさ」は=1.0です。
ですから、実数の1(1,0)と虚数i(0,1)は、

1) 大きさは同じ
2)偏角が90°ずれている

訳です。「波」の話に戻りますが、波(定常波)は複素平面上をある半径で規則的に周るものと考えることができます。半径は一定ですが、偏角は時刻の関数です。この半径を「振幅」、偏角を「位相」と分けることによって、波の性質を見事に表現することができるのです。全く同じ高さと周期を持った2つの波でも、「位相」が揃えば、振幅(=波の高さ)は2倍になるし、「位相」が180度ズレると、打ち消し合ってしまいます。

これを実数の1(1,0)と虚数i(0,1)の話に置き換えると、同じ高さの波だが、1/4波長位相がズレているということになります。この方が理解し易いでしょうか?

余談ながら、物理屋さんや電気屋さんの言う「位相」は「Phase」、数学屋さんの言う「位相」は「Topology」で中身は全く別です。ご注意下さい。

尚、虚数「i」に付いては既に以前、何度か話が出ており、素晴らしい説明も出ているので、詳しくは過去ログをご覧下さい。
  • 回答No.10

ここで抽象的に虚数実数のうんぬんをやりあっていても議論は進まないと考えます。 実際に, 「室内と室外の温度差を利用した自然換気量を求める公式」を書いてください。 室内の温度がx、室外の温度がy、自然換気量がzだったら、 x、y、zにはどのような関係式があるのですか? 公式が成り立っていると仮定した上で、どのような数値を入れたら、 ご質問のような不具合が生じるのですか? 式をテキストだけで表現 ...続きを読む
ここで抽象的に虚数実数のうんぬんをやりあっていても議論は進まないと考えます。
実際に,
「室内と室外の温度差を利用した自然換気量を求める公式」を書いてください。
室内の温度がx、室外の温度がy、自然換気量がzだったら、
x、y、zにはどのような関係式があるのですか?
公式が成り立っていると仮定した上で、どのような数値を入れたら、
ご質問のような不具合が生じるのですか?
式をテキストだけで表現するのは難しいことですが、
それは頑張って解読するので、お願いします。
補足コメント
satou03

お礼率 63% (197/308)

回答ありがとうございます。

http://203.174.72.112/satou03/ondosa-g1.jpg (62KB)

Qg:換気量(m3/sec)

α:流量係数 0.65~0.70 程度の値です。
A:開口部面積(m2) 開口部は、顔とひざのトコロにあると考える。
g:重力加速度 9.8(m/sec2)
h:給気口と排気口の高さの差(垂直方向)

問題なのは、ルートの中の ti(室温)-to(外気温度)でした。
公式にそっくり温度を代入すると、

室温<外気温 となった場合。

私の計算ミスでなければ、マイナスになってしまいます。
(gもhも正数であると考えた場合です。)
(温度以外の条件はすべて同じで、温度による換気量を比較したかったので、α・A・2・g・hは省略して計算しいます。)

布団の中で天井を見ながら考えた結果、「室温」・「外気温」と言う言葉に惑わされていたのだと思います。
室温・外気温・内・外ではなく、高温側・低温側と読み替えることで、解決するのではないかと思います。?
もしかして、室温・外気温はそのままで、温度が逆転することによって、給気口と換気口の高さの差の計り方が逆になり負の値になるのかもしれません??
高さの差は、絶対値ではなく符号が必要な数値のような気がしてきました。
ナゾは深まるばかりです。
投稿日時 - 2001-05-27 16:48:13
  • 回答No.8

こんにちは。 数学をやっている立場からさらっと・・・ 今の高校生は数学Bで複素数を習います。 (二乗して-1になる数のひとつ、√-1を虚数単位 と言い、iで表します。) これを導入することによりすべての二次方程式が解けるようになります。 複素平面なども同じように習います。 15年度からは数学(2)で複素数を習うことになります。 ちなみに私は、18年前に数学(1)で習いました。 ということ ...続きを読む
こんにちは。
数学をやっている立場からさらっと・・・
今の高校生は数学Bで複素数を習います。
(二乗して-1になる数のひとつ、√-1を虚数単位
と言い、iで表します。)
これを導入することによりすべての二次方程式が解けるようになります。
複素平面なども同じように習います。
15年度からは数学(2)で複素数を習うことになります。
ちなみに私は、18年前に数学(1)で習いました。
ということで、多分高校で習っていると思います。

どのような値ですか?ということですが、
√-1は実数ではないので、たぶんイメージしているものとはちょいと違います。比で表すときも絶対値を取れば
(絶対値は単純に+・-の符号を取るだけではなく、原点 からの距離です)1になります。
複素平面(ガウス平面)と考えると一発です。
これは縦軸を虚軸、横軸を実軸とすればどんな数
(3+√-5などの複素数でも)平面上に表すことができます。
文章で長々と書いて説明するのは大変であまりわからないと思いますが、数学Bの参考書でも見ていただければ分かると思います。
何かあればまた、お願いします。
  • 回答No.6
レベル10

ベストアンサー率 28% (36/125)

§1. -1をかけることは原点Oを中心に180度回転すること 実数はすべて数直線上の点に対応できます。 実数3に-1をかけると-3となり,その-3に-1をかけると3なります。 つまり,-1を掛け算するということは,原点Oを中心に180度回転することでした。 -1と1は,2次方程式 x^2=1 の2つの解です。 §2. iをかけることは原点Oを中心に90度回転することです。 実数 3 に i ...続きを読む
§1. -1をかけることは原点Oを中心に180度回転すること
実数はすべて数直線上の点に対応できます。
実数3に-1をかけると-3となり,その-3に-1をかけると3なります。
つまり,-1を掛け算するということは,原点Oを中心に180度回転することでした。
-1と1は,2次方程式 x^2=1 の2つの解です。

§2. iをかけることは原点Oを中心に90度回転することです。
実数 3 に iをかけると 3i となり,
その 3i に iをかけると -3 なり,
そのまた -3i に iをかけると 3となります。
i,-1,-i,1 は 4次方程式 x^4=1 の4つの解です。

§3. 数学は空想
iや-iは数直線の周りの点ですから,そのまま,大小比較にはなじみません。

√-1と言う値は、結果として影響を与える数字ではないから
「0」としていいのか?

それは,だめなのです。
iは虚数などといわれ、実数という数とは区別されますが,
実在する数に変わりはありません。

iの存在は,将来,電気磁気学などを学ぶとき
コイルやコンデンサの電流の計算で
大いに実感できると思います。

iってなんか不思議だな。
どうもしっくりこないな。
なんて言う新鮮な感覚はとても大切です。
「不思議だなあ。なんとなく不安だな。」
という感覚も忘れずに大切にしまっておいてください。
『数学って,なんか心に広がるイメージなのだ』
という感じがしてきますよね。数学詩なんて言うことばもあるくらいです。

-1を始めて習ったとき、
iを始めて習ったとき、
そういうときにはとくに
数学詩が,人の心にふと沸いてくるものです。

iって気になるよね。
アイとアイがかけ合わさってマイナスになる。
こんなに気になる。その胸騒ぎを逃がしてはならない。
なぜなら,
その胸騒ぎは,
君が数学の魅力を捕まえる密かな胎動なのだ。

今すぐ分らなくてもいい。
むしろ今すぐ完璧に分らない方がいい。
でも忘れずに心の中で温めているのがいい。
やがて、熟して,芳醇な香りを発するだろう。

分らなくてもよい。
そのわからなさを楽しんでほしい。
すると分ってくるよといいたいのです。
おじさんは。
すみません。酔っ払ってきました。
むにゃむにゃ。
  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 31% (81/257)

値とは何でしょうか?実数値のことですか?複素数値ならそのまま「i」ですね。 ・絶対値は=1です。それ以外の実数値を対応させてもいいですが、絶対値がよく使われます。 ・複素数の成分表示だと、(0,1)です。0 + 1*i としても同じです。 ・複素平面だと、(0,1)のとおり90°の位置で、原点から1の距離に位置します。 (1)√1と√-1ではどちらが大きいのか? 比で表すと、何対何? ...続きを読む
値とは何でしょうか?実数値のことですか?複素数値ならそのまま「i」ですね。

・絶対値は=1です。それ以外の実数値を対応させてもいいですが、絶対値がよく使われます。
・複素数の成分表示だと、(0,1)です。0 + 1*i としても同じです。
・複素平面だと、(0,1)のとおり90°の位置で、原点から1の距離に位置します。

(1)√1と√-1ではどちらが大きいのか? 比で表すと、何対何?
1:1です。

(2)√-1と言う値は、結果として影響を与える数字ではないから「0」としていいのか?

だめです。

(3)符号を消して「1」として扱うか?

上で述べたとおり、絶対値は1ですが...。


■複素数と実数を区別して下さい。
お礼コメント
satou03

お礼率 63% (197/308)

速い回答ありがとうございます。
室内と室外の温度差を利用した自然換気量を求める公式に出てきて困っていました。
公式にそっくり温度をあてはめるとルートの中がマイナスになってしまうんです。
他の条件と比較しなくてはいけなかったので、マイナスで出てくると、大小関係が逆になってしまうし、虚数をどうやって実数に直すか、困っていたところでした。
今後ともよろしくお願いします。(^_^)
投稿日時 - 2001-05-24 14:24:17
  • 回答No.12
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

siegmund です. これは虚数をどう扱うかという数学の問題ではなくて, もとの公式が正しいか,正しく適用しているか,の問題です. masuo_kun のご意見に同感です. ちょっと思いつくポイントとしては, (1) どの文字がどういう量を表しているか,誤解がないか.   特に,温度差の符号,換気量の符号などはOKか? (2) 公式が成り立つ前提条件に関する注意はOKか? (3 ...続きを読む
siegmund です.

これは虚数をどう扱うかという数学の問題ではなくて,
もとの公式が正しいか,正しく適用しているか,の問題です.
masuo_kun のご意見に同感です.

ちょっと思いつくポイントとしては,
(1) どの文字がどういう量を表しているか,誤解がないか.
  特に,温度差の符号,換気量の符号などはOKか?
(2) 公式が成り立つ前提条件に関する注意はOKか?
(3) いつでもおかしな結果が出るのか.
  それとも一番普通そうな状況でもおかしなことになるのか?
(4) 温度差が大きければ自然換気量も大きくなるというのが自然と思いますが
  公式はそういう要請を満たしているか?
(5) 何かに書いてあった公式にミスプリントがある,などの可能性もありますよ.

導出過程を自分がよく把握していない公式を使うときは,
かなりの注意が必要です.
私はプロの研究者ですが,そういうところは十分注意を払っています.
もちろん,すべての公式を全部自分で再導出するなどは不可能ですが,
ある程度のチェックは必要です.
広く使われている岩波の数学公式集でも,
私自身数カ所のミスプリを発見しています.
最新版を見たらなおっていたものもありますし,
直っていなくてミスプリ発見を通知したものもあります.

masuo_kun の言われるように,公式を補足してもらった方がいいと思いますよ.

ametsuchi さん:
> 「音」に関するスレッドで、大ボケかましてsigmundさんに助けて頂き、
> 訂正とお礼を言おうと思ったら締め切られてしまいました。
> この場をお借りして改めてお礼申し上げます。
いえいえ,ちょっとしたミスは誰でもありますよ.
私も大ボケ2度ほどやっています.
ミスタイプはいくらもありますし...
  • 回答No.7
レベル14

ベストアンサー率 30% (2593/8599)

電磁気学(交流理論)でもやらないと、虚数や複素数はでてこないと思います。 公式を使ってルートの中が負になったという事は測定結果か前提条件に誤差(あるいは過ち)が有ると言うことだと思います。 虚数の事をあれこれ考えるより、これらをもう一度吟味された方がいいと思います。
電磁気学(交流理論)でもやらないと、虚数や複素数はでてこないと思います。
公式を使ってルートの中が負になったという事は測定結果か前提条件に誤差(あるいは過ち)が有ると言うことだと思います。
虚数の事をあれこれ考えるより、これらをもう一度吟味された方がいいと思います。
  • 回答No.11
レベル10

ベストアンサー率 40% (54/135)

ご質問の温度差換気については良く分からないので、以下は想像です (カテゴリー的には物理か科学などの質問だと思います)。 おそらく、ベルヌーイの定理 (流体のエネルギー保存則のようなもの)を単純化した  p+ρV^2/2 = 一定 (*)  p:ある基準点からの圧力差(この場合、温度差による圧力差)  ρ:密度(この場合、空気の密度)  V:流体の流れの速さ(換気量に比例する) という式(足 ...続きを読む
ご質問の温度差換気については良く分からないので、以下は想像です
(カテゴリー的には物理か科学などの質問だと思います)。
おそらく、ベルヌーイの定理
(流体のエネルギー保存則のようなもの)を単純化した
 p+ρV^2/2 = 一定 (*)
 p:ある基準点からの圧力差(この場合、温度差による圧力差)
 ρ:密度(この場合、空気の密度)
 V:流体の流れの速さ(換気量に比例する)
という式(足りない項があるかもしれません)を、
温度差がないところ(室内など)を基準として
 p+ρV^2/2 = p0+ρV0^2/2
 p0:温度差0のときの圧力差
 V0:温度差0のときの流れの速さ
このとき、圧力差も流れもないので
 p0=0、V0=0
として、温度差による圧力差pが正の数とすると流速Vが複素数となる、
としてしまったのではないでしょうか?
もともとの式(オイラーの運動方程式)では
圧力の勾配(≒微分≒圧力が増す方向)の逆符号が流体に速度を与えるモトになっているので、
その積分である圧力差pは流れの向きに差を積算していったときに
負になっていなくてはならないのではないでしょうか。
つまり

 圧力が高いところ→低いところの向きに対して
 空気は正の向きに流れる:
 正向きへの圧力差の計算:単純に積算=圧力差は負
 負向きへの圧力差の計算:マイナス符号をつけて積算=圧力差は負

となって矛盾なく収まるのではなでしょうか。
全く違う問題でしたらごめんなさい。
  • 回答No.18
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

iはx^2+1=0が根を持つために導入された実数しかなかった時代の新しい数です -1のルートと考えるからおかしいのです 実数同士には大小が定義されていますが世間では一般の複素数同士の大小は定義されていません 定義してもメリットがないから定義しないのです あなたが素晴らしい定義をして大いに役立つことを証明すればその定義を世間は認めると思います 1:iはいろいろに表現できます i:-1でも-i:1 ...続きを読む
iはx^2+1=0が根を持つために導入された実数しかなかった時代の新しい数です
-1のルートと考えるからおかしいのです
実数同士には大小が定義されていますが世間では一般の複素数同士の大小は定義されていません
定義してもメリットがないから定義しないのです
あなたが素晴らしい定義をして大いに役立つことを証明すればその定義を世間は認めると思います
1:iはいろいろに表現できます
i:-1でも-i:1でもa:i・aでも何でも良いのです
ただしaは複素数です
i=0とするとiが作られた趣旨に反しi^2+1=0を満たさないのでだめです
iには符号がないので消すことができません

2次多項式=0すべてが解を持つようにするためにiを考え出したのだが
iを世間が認知したのは
任意次数多項式=0のすべての根が実数とiの実数倍で表現できるという驚異的な事実が合ったからです
もしiの他にjとかkとかいっぱい定義しないと任意次数多項式=0の根を表現できなかったならばiは認知されなかったでしょう
iをルート-1というのはいいけどそう考えるのは混乱の元です
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