中学１年生数学を教えて下さい。

質問

(1)次の１から６の式で、a<0のとき、計算結果が常に負の数になるものをすべて選びなさい。

　(1)-a (2)－（－a) (3)－｛－（－a)} (4)（－a)²　　(5)－a²　　(6)（－a)³

(2)４つの数a,b,c,dについて、a×b×c×d＞0、　a<c、 a×b×d＜0、　b＋d＜0の関係が成り立っています。この時、bは正の数、負の数どちらですか？

　という２問を教えて下さい。
　中学生の子供にもわかるように解説して頂けたら有難いです。
　宜しくお願いします。

回答No.5

info22_

問題(1)
a=-1としても正負の符号は変わらないことを利用して
(1)-a → -(-1)=+1 >0
(2)－（－a) → -(+1)=-1 <0 （∵(1)より）
(3)－｛－（－a)} =-(-1) =+1>0 （∵(2)より）
(4)（－a)² → (+1)^2=+1>0（∵(1)より）　
(5)－a²　→　-(-1)^2=-1<0　
(6)（－a)³ → (+1)^3=+1>0 （∵(1)より）

以上から常に負になるものは(2),(5)

問題(2)
a×b×c×d＞0...(1)
a<c ...(2)
a×b×d＜0 ...(3)
b＋d＜0 ...(4)

(1)よりa,b,c,dはどれもゼロでない ...(5)
(4),(5)より
[1] b<0かつd<0の場合
[2] b<0かつd>0の場合
[3] b>0かつd<0の場合
の3通り有り得る。

[1]b<0かつd<0の場合
bd>0,(3)より a<0
(1)より ac>0,c<0
(2)より a<c<0
　a<c<0,b<0,d<0は全ての条件を満たす。

[2] b<0かつd>0の場合
bd<0,(3)より　a>0
(1)より ac<0, c<0
(2)のa<cを満たさない。
この場合は条件を満たさない。

[3] b>0かつd<0の場合
bd<0,(3)より a>0
(1)より　ac<0, c<0
(2)のa<cを満たさない。
この場合は条件を満たさない。

全ての条件を満たすa,b,c,dが存在するのは[1}の場合だけなので　bは負の数であると言える。

お礼

丁寧な説明、有難うございました。

回答No.4

thunder00w

（１）a<0でしたら実際に(-1)をaに代入してみては如何でしょうか

(1)-(-1) = 1
(2)-{-(-1)} = -1
(3)-｛-{-(-1)}｝ = 1
(4){-(-1)}² = 1 ←この場合二乗は( )にかかっていることに注意
(5)-(-1)² = -1 ←この場合二乗はaにかかっていることに注意
(6){-(-1)}³ = 1

よって(2)と(5)

(5)の補足として
二乗はaにかかっている為
マイナスの計算より二乗の計算を先に行わなければならない

(2)４つの数a,b,c,dについて、a×b×c×d＞0、　a<c、 a×b×d＜0、　b＋d＜0の関係が成り立っています。この時、bは正の数、負の数どちらですか？

a×b×c×d＞0・・・（I）
a<c・・・（II）
a×b×d＜0・・・（III）
b＋d＜0・・・（IV）
と割り振っておきます

(I)a×b×c×d＞0により負の数は０または２または全てでなくてはならない

(III)a×b×d＜0により全体の負の数は０個はありえなくなる
また、aかbかdいずれかに負の数が１個または全てでなくてはならない

(IV)b＋d＜0によりbかdいずれかに負の数が１個または全てでなくてはならない

（ここで(I)(III)(IV)の共通点から答えはa～dすべて負だとわかりますが反例を出しておきます）

(I)と(III)により全体の負の数が２個または全てでなくてはならない事から
もし負の数が２個だけだったらを考えます

▼負がaとcだけなら・・・
(IV)を証明するものが何も無いため×

▼aとbだけ または　aとdだけ　または　bとdだけなら・・・
(III)が正の数になるので×

▼cとbだけ　cだけdなら・・・
(II)の定義（cがaより小さくなってしまうこと）と反するので×

よって負の数が２個だけではない。

分かりにくくかったらすみません

お礼

詳しい説明、有難うございました。

回答No.3

KEIS050162

＃２です。

失礼、一点間違えていました。（訂正したところは【】のところです。）

ｂ＋ｄ　が　【　負　】ということは、ｂもｄも【　正　】ということはありえないので、ｂ　（とｄ）　は　【　負　】となる。
（負＋負＝負、正＋正＝正、負＋正の場合はそれぞれの数の大小により正負が異なる。）

お礼

子供も納得しました。有難うございました。

回答No.2

KEIS050162

大前提として、
・負の数とは、０より小さい（　＜０　）数。
・負の数に負の数をかけると正の数になる。
・正の数に正の数をかけると正の数になる。
・正の数に負の数をかけると負の数になる。
・負の数を二乗すると、負の数に負の数をかけることになるので、正の数になる。
・負の数を三乗すると、負の数の二乗、即ち正の数に、負の数をかけることになるので、負の数になる。
以下、負の数を遇数回かけると正に、奇数回かけると正に。

１．
１）　－ａ　⇒　負の数ａに　負の数－１をかけているので、正。
２）－（－ａ）　⇒１）より、（－ａ）は正でこれに負の数－１をかけているので、負。
３）－｛－（－ａ）｝　⇒　２）より、｛－（－ａ）｝は負で、これに負の数－１をかけているので、正。
４）（－ａ）＾２　⇒　－ａは正の数で、正のすうは二乗しても正。
５）－ａ＾２　⇒　ａ＾２は負の数の二乗なので正。これに負の数－１をかけているので正。
６）（－ａ）＾３　⇒　負の数の奇数乗なので負。

※５）は－ａにかっこが付いていないので、ａ＾２を計算してから－１倍することに注意。

(2)４つの数a,b,c,dについて、a×b×c×d＞0、　a<c、 a×b×d＜0、　b＋d＜0の関係が成り立っています。この時、bは正の数、負の数どちらですか？

２．
ａ、ｂ、ｃ、ｄ　を掛け合わせると正だが、ａ，ｂ，ｄの３つをかけると負になるということから、ｃは負。
ａ＜ｃ　なので、ａも負。
ａ，ｂ，ｄの３つを掛け合わせて負になり、ａが負なのだから、ｂ×ｄ　は正。

これから、ｂとｄは正負が一緒ということが分かる。（負×負＝正、正×正＝正で、負×正＝負）

ｂ＋ｄ　が正ということは、ｂもｄも負ということはありえないので、ｂ　（とｄ）　は　正となる。
（負＋負＝負、正＋正＝正、負＋正の場合はそれぞれの数の大小により正負が異なる。）

１．の３）とか５）とかは混乱しやすいところですね。－ａは、（－１）×ａ　と言う風に考えてみると良いかも知れません。
２．は、中学一年生なので、式で考えるより、理屈を文章で考えた方が分かりやすいかと思います。

回答No.1

tsuyoshi2004

(1)
乗法や乗数における交換の法則や分配の法則を使って、式を変形します。
(1)そのまま
(2)-(-a)=(-1)(-1)a=a
(3)-｛-(-a)｝=(-1)(-1)(-1)a=-a
(4)(-a)^2=(-1)^2a^2=a^2
(5)そのまま
(6)(-a)^3=(-1)^3a^3=-a^3
ここで、a<0であれば、
a^2>0,a^3<0なので、
計算結果が負になるのは、
(2),(5),(6)になります。

なのですが、実際にはa=-1でも代入して答えの予想をするのが実践的かと思います。

(2)
a×b×c×d＞0とa×b×d＜0
より、c<0がわかります。
更にa<cなので、a(<c)<0もわかります。

a×b×d＜0なので、b×d>0がわかります。
従って、bもdも負かbもdも正のどちらかです。
b＋d＜0
なので、bもdも負であることがわかります。

よって、bは負です。

お礼

とても助かりました。有難うございました。