高校物理 ファラデーの法則に関する問題

質問

ファラデーの法則を勉強していて、疑問に思うことがあります。

磁束密度Bの一様な磁場中に、長さL導体棒速さvで磁場と垂直に動かすと、
誘導起電力Vの大きさはV=vBL…(1)となると思います。
ファラデーの法則は　|V|=dΦ/dt　ですが、
Φ＝BSで、Bが一定のとき両辺をtで微分すると
　dΦ/dt＝B(dS/dt)となり、(dS/dt)がvLと考えれば(1)式になり、わかりやすいのですが、

　では、導体棒にB=kt (kは定数、tは時間)で変化する磁場中に、磁場と垂直に長さLの
導体棒をおいた場合の、導体棒にできる誘導起電力はどのように求めたらいいのでしょうか？
　Φ＝BSで、両辺をt微分すると、
dΦ/dt＝(dB/dt)S＝kSとなりますが、導体棒ですから面積がありません。Sはどうしたら
いいのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

回答No.4

endlessriver · ベストアンサー

ようするに、導体棒の場合、起電力が生じるか否かです。
さらに、面積は幅が任意ですから、棒単体の話なら、棒の長さに比例する起電力が生ずるか否かです。

結論を言えば、磁界の時間変化があればマクスウェルの式から電界が発生します。これにより、
導体棒が運動しなくても起電力が生じます。

これではそっけないので多少、計算してみます。rot E=-∂tB より、rot E=-k となる。
この解で簡単なのは（Bをz方向にして）

Ex=c11y+c12、Ey=c21x+c22 である。　ここで、c11-c21=-k
あまり考えていないが、定数はここに与えられた条件からは定まらないと思う。

導体棒が伸びている方向をyとすると、棒の長さをLとして、起電力は V=EyL=(c21x+c22)L
となる。

なお、これらの式を閉回路にして解くと起電力は　-kS となることがわかります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
式自体は私には何のことかわかりませんが、要するにちゃんと計算できる
ということですね。とりあえず高校の知識では不可能ということが
良くわかり、納得いたしました。

回答No.8

lv4u

No.6です。
紹介した本には、質問者さんが疑問にもたれた状況に近い実験結果が掲載されていました。
簡単なイメージは以下のようです。

図１
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜
「Ｎ極」－－－＞　｜
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜

図２
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜
「Ｎ極」－－－＞　｜

｜は導体を示し、磁石を－－＞方向に移動する実験。

実験は、磁石（Ｎ極）を磁界に従って導体に接近させ、縦方法に設置した導体両端の電圧を測定するってものです。
通常なら、フレミングの右手の法則に従い、導体を磁力線と９０度交わる方向、画面の前後に移動させて発電するわけですが、この実験では、磁力線の方向に沿って磁石を導線に近づけています。
つまりは、導線まわりの磁力をしだいに強くするってことですね。

実験結果では、１図のように、磁石が導体の中心部に向かうとき、発電はしません。
図２のように、導体の中心から下にずれた位置で、磁石が導線に近づくと、発電します。

この実験結果を見ると、磁石が導体に接近することで、導体を貫く磁力線の本数は増えると考えられます。それが磁界を横切る面積としてどういう値になるか数式での表現は難しいとは思いますけど、導線には太さがあり、面積を持つと言えるでしょう。
でも、磁石が中心から接近したとき、導線を切る磁力線が増えても、発電電圧はゼロってことで、ファラデの法則だけでは結果の説明が難しい状態になります。
書籍には、導線上での発電はあるけど、導線の中心から磁石が迫ると、上と下の起電力が相殺された結果だと説明しています。
まあ、本書での発電の原理説明は、ファラデ－の電磁誘導理論を否定した独自のもので展開されているわけですが・・。

いずれにしても、電磁気学に限らず、教科書には、学会で議論されるような最先端の理論は掲載されず、学会で「定説」とされているものだけが採用されます。
この書籍の著者が、天動説に対し、地動説を唱えたコペルニクスの立場にあるとは思うのですが、でも、地動説が認められるまでには半世紀が必要でした。

質問者さんは、さしあたり、「電磁気学では、イロイロ議論の余地があるんだ」ってことだけを記憶に留めて、教科書に掲載された範囲のことを勉強されるほうがいいかもしれません。

回答No.7

kamobedanjoh

ANO.２ です。
磁束(磁場・磁界)の問題と電磁界・電磁波強度の問題をごちゃ混ぜにすると混乱してしまいます。
ファラディーの法則は，電磁誘導の原理を説明するもの。磁界内に於いて運動する導体に誘発される起電力，若しくは，磁界の強度が変化するときの導体に生じる起電力の問題を解く為の法則です。
マクスウェルの法則は，導体に流れる電流と，その周囲に誘発される電界と磁界の強度を解く為の原理です。両者を同一と考えては混乱してしまいます。

前回の回答で，導体の長さをSと考える・・・・・としたのは，一定磁界内を導体が移動した場合に横切る磁力線の本数と，静止した導体に対して変化する磁力線が実効的に何本通り過ぎた事になるのか・・・・・に置き換え得るのではないか？　と，提起したつもりなのですが。
導体が横切った本数と，導体を横切った本数は「等価」ではありませんか？
無論，磁力線などと言う「線」は存在しませんが，そもそも，その仮定が認められなければ磁束密度なるものも架空の存在に過ぎず，磁気学の初歩的成果の否定でしかありません。

マクスウェルの電磁界方程式は，基本的には，導体を流れる電流が誘発する電磁界の式です。電流が一定(直流)の場合には静電磁界を形成し，電流が変動するときは周辺に生じる電磁界も変動し，そのエネルギー的変動が空間に放出されて電磁波として伝播すると言うものです。
ファラディーの法則に関する質問に，マクスウェルの法則で回答しようとなさる方々の，説明の仕方が私には理解できません。しかも，高校生の質問に対してです。

回答No.6

lv4u

>>でもそれは特殊な場合に破たんということですよね？

いえ、特殊な場合ではありませんよ。普通のトランスを使っての実験です。
そもそも、「電気が流れる」ってのを荷電粒子（電子）の流れと考えるのが間違いだそうです。それも以下のサイトをごらんください。

http://members.jcom.home.ne.jp/u333/columbus1%20gairyaku.htm

私は、子供のころ、半田ごてを持って、真空管やトランジスタで無線機を作ったりしていましたが、そのころから電波というものが不思議な存在でした。（だから電気科に進んだのでしょう）
このサイトの著者が書かれた書籍を読んでいますが、この書籍は、そういった電子回路的なことだけでなく、量子力学や相対性理論に対して私が持っている疑問に対する解決の糸口になるのでは？なんて感じています。

回答No.5

lv4u

>>マクスウェルの方程式というのがあるそうですが、それで計算できないのでしょうか？

マクスウェルの方程式は、ファラデーの法則よりも難解です。

「なっとくする電磁気学の疑問５５」という書籍には、
「マクスウェルの方程式は、初心者には、大変難解に思えます。このような難解なものを、なぜわざわざ考える必要があるのでしょうか？」
などという質問がされているくらいですよ。

ただ、そういう難解な方程式ではあるのですが、コンデンサに流れる電流の説明については、きちんと天才マクスウェルも説明できず、「変位電流」なんて導線を流れる電流とは別物という電流を考えて辻褄合わせをしています。
上記の書籍の著者さん（後藤尚久名誉教授）は、この変位電流について、シンポジウム会場でアンテナの大御所にしつこく質問されて、「大型アンテナが設計できるからいいじゃあないですか」なんて言って議論から逃げたそうです。

ちなみに、現在読んでいる「コロンブスの電磁気学（新装版）」という書籍には、「ファラデーの電磁誘導の法則は誤解の産物」「マクスウェル方程式の訂正」なんて記載があります。
電磁誘導の法則に訂正を迫るわけですから、もし質問者さんが、計算できたとしても、それが実験結果と一致するかとなると分かりません。

この本には、電磁誘導が応用されているトランスの実験結果が掲載されていますが、その結果を見る限り、「ファラデーの電磁誘導の法則」は破綻しています。

お礼

ウィキペディアでマクスウェルの法則を見ましたが何の事だかさっぱりわかりませんでした。
∇とかrotとか、知らない記号がいっぱいあるので理解できるわけないですね…
それにしてもファラデーの法則が破たんするというのは、ちょっと…
でもそれは特殊な場合に破たんということですよね？
とりあえず教科書に書いてあることを信じてやるしかありません。
頑張って勉強したいと思います。

回答No.3

lv4u

>>ご回答ありがとうございます。実際に実験をすると誘導起電力は0
なのでしょうか？

誤解を与えてすいません。説明できない現象とは、ご質問の件ではありません。別の現象についてです。

なお、「時間で変化する磁場」ということは、磁力線の増減がある、つまり磁力線の濃度変化（イメージ的には単位あたりの本数変化）があるってことで、導体を磁力線が何本かが横切るってことになると思います。
となれば、それを面積換算できるのではないでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございます。
その考えで計算ができるとしても、たぶん私の頭では無理かと思います。
マクスウェルの方程式というのがあるそうですが、それで計算できないのでしょうか？
その他詳しい方のご回答お待ちしております。

回答No.2

kamobedanjoh

ご質問の場合のSは，導体棒の長さと解しましょう。
最初の場合は，導体棒が磁束を横切った面積を示しています。
磁束密度の変化と，棒の長さとの関係式と考えれば良いはずです。

お礼

ご回答ありがとうございます。Sはm^2で、長さだと単位がmですから
単位が合いませんよね？

ということは、（導体棒の長さ）×（導体棒の太さ）　で計算すれば
良いということでしょうか？

回答No.1

lv4u

素直に考えれば、その場合、誘導起電力はゼロってことでいいのではないですか？
ちなみに、ファラデーの法則やマックスウエルの方程式など、電磁気学については、突っ込んで考えると「パラドックス？」「こじつけ？」っていう説明が定説になっていたりします。
また、思考実験だけでなく、実際に電気実験をやっても、理論で説明できない現象があったりします。

なので、単にテストの点数が取れればいいだけなら、「疑問に思うけど、これが教科書での定説であり、素直に教科書の内容を覚える。」というスタンスが良いようです。
頭が鋭すぎて、そういう理論・現象の説明に矛盾を見つけてしまうと、頭が混乱してしまうことになるかもしれません。
（私が電磁気学を学んだときの教科書では「この現象は、現在でもうまく説明できていない」てところは、さらっと短い記載で軽く流していました。）

お礼

ご回答ありがとうございます。実際に実験をすると誘導起電力は0
なのでしょうか？

しかし、コイルにすると誘導起電力が発生する…ちょっと矛盾ですね。

この問題は、これは大学で習う内容でも誘導起電力を求める計算式は
ないということでよろしいでしょうか？