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関数fn(x)を
fn(x)=1+x+x^2/2+…+x^n/n(n=1,2,3,…)で定める nが偶数の時、xの方程式fn(x)=0は実数解を持たないことを示せ 回答を見ると f'n(x)=1+x+…x^(n-1)= ＞0(x≧0) (1-x^n)/(1-x)(x＜0) となっていました f'n(x)=1+x+…x^(n-1)となるのは分かります しかし、何故x≧0で1+x+…x^(n-1)＞0となるのかわかりません 今回a+ar+ar^2+ar^3+…+ar^(n-1)のa=1、r=xの場合ですよね a+ar+ar^2+ar^3+…+ar^(n-1)は公式より、a(1-r^n)/(1-r)で、これが成り立たないのはr=1の場合のみのはずです 従って今回の場合は 1+x+…x^(n-1)= (1-x^n)/(1-x)(x≠1) n(x=1) となるはずです しかし回答ではそうなっていません これは何故なのでしょうか？
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- ereserve67
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式変形は質問者様の通りです． この問題は「f_n(x)=0が実数解をもたない」ことを示したいのです．目的があります． >f'n(x)=1+x+…x^(n-1)= >＞0(x≧0) >(1-x^n)/(1-x)(x＜0) の部分ですがこれは正確には f_n'(x)=1+x+…x^(n-1)>0(x≧0) f_n'(x)=(1-x^n)/(1-x)>0(-1<x<0) f_n'(x)=(1-x^n)/(1-x)=0(x=-1) f_n'(x)=(1-x^n)/(1-x)<0(x<-1) ということでしょう．つまりf_n(x)はx=-1で極小かつ最小になるのです．その最小値は f_n(-1)=1-1+(1/2-1/3)+(1/4-1/5)+…+(1/(n-2)-1/(n-1))+1/n>0 ※n=2のときは()部分はなし ですから常にf_n(x)>0となりf_n(x)=0は実数解をもたないのです．これを言いたいのです．
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お礼
そういう意図があったんですね 回答ありがとうございました