t時間後の異性体比の変化について。

質問

アミノ酸が一定の速度でラセミ化が進行した時、可逆的な一次反応速度に従うと思います。
L→D，D→Lの反応が起こり、反応速度式は、
－dL/dt=kL-kD, －dD/dt=kD－kLの式が成立すると思います。その後、t時間後の異性体比の変化については、
d(D/L)/dt=(L(dD/dt)－D(dL/dt))/L2
という式で表わされるらしいのですが、この式になる過程がわかりません。どなたがわかる方がいましたら、お願い致します。ちなみにL2はLの二乗という意味です。

回答No.2

easylife

no.1の方のおっしゃるとおりです。
分かりやすく書くと、
d(xy)/dt=y・dx/dt＋x・dy/dt
という計算を高校の数学で習います。
xやyがtの関数でない、つまり定数である場合は、dx/dtやdy/dtが0になって消えてしまいます。

今回のケースでは、
x=D, y=1/L
になっているということです。
どちらもtの関数なので、微分すると
dx/dt=dx/dD・dD/dt=1×dD/dt=dD/dt,
dy/dt=dy/dL・dL/dt=-1/L2×dL/dt
となりますから、これら二つをまとめると質問文の式になるわけですね。

回答No.1

Julius

数学的に

d{f(t)/g(t)}/dt = 1/g(t)*{df(t)/dt} - f(t)/g(t)^2*{dg(t)/dt}

が成立するのは分かりますか？

＞d(D/L)/dt=(L(dD/dt)－D(dL/dt))/L2

この式は、ある時間tにおける異性体比(D/L)の変化を表す微分方程式であって、
t時間後の異性体比の変化を表しているのではありません。

本題は、この微分方程式に初期条件を代入して解くところでしょう。