中学3年の角の2等分線の性質

質問

角の二等分線の性質の導き方でまず何を求めたらヒントになりますか？
中学3年範囲で求められる方法を教えてください。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

今だと「中学3年範囲」で座標使ったりするんだっけ?

お手軽には面積を使いそうだけど.

お礼

回答ありがとうございます。面積を求めて何が等しいと言えるでしょうか。内接円の半径を求めても比を計算することができません。△ABCの角Aの二等分線と対辺BCとの交点を点Dとしたとき、AB：AC＝BD：DC という関係の証明は大学生が習うモノではないかという結論にいたりました。もしかすると、多くの大学生でも分からない法則があるのかもしれません。証明が必要なのではなくその公式や法則をどのように使うかが必要なのではないでしょうか。この関係を始めて言葉にした人物はどんな数学者でしょう。

補足

高校数学I の面積を利用した角の二等分線の長さと、余弦定理で線分BD、DCの長さを求めたら、BD = AB x □、DC = AC x □
□ = √〔 { ( AB + AC )^2 - 4・AB・AC・( cos θ )^2 } / ( AB + AC )^2 〕
で、AB：AC = BD：DC となりました。
これは面積を使えそうだというコメントがあって、角の二等分線の長さの公式 (もちろん証明済みで) を再び考える機会ができたからだと思います。ありがとうございました。

回答No.2

NNori

角の二等分線を素直に考えてみましょう。
二等分線上の任意の一点から二つの直線に垂線を引いてみましょう。
なにがわかりますか？
できた二つの直角三角形は、合同ですよね。
つまり角の二等分線は、二つの直線から等距離にあるんです。
これが、唯一無二の性質です。

例えば三角形の３つの角の二等分線の交点は、すべての辺から等距離にある、
すなわち内接円が描けるということになります。

お礼

回答ありがとうございます。頂点をA ( b , c ) , B ( - a , 0 ) , C ( a , 0 )とする三角形を考えて、直線ABからの距離と直線ACからの距離が等しい x 軸上の点Dの座標を求めて、AB：AC = BD：DC を導くのかな？
どうですか。

回答No.1

h_flower

△ABCの頂点Aの2等分線を、辺BCに向かって引いた時
辺BCと交わる点をDとする。

↑これ、イメージできますか？

この時、以下の性質がある。
AB:AC=BD:BC

これが解き方のヒントになると思いますよ。

お礼

回答ありがとうございます。性質を導くための考え方がほしいです。理論上こういう風になるというような。それか、宇宙の法則がそうなってると考えて、魔方陣の解き方のように法則化するしか方法は無いですか？その方が楽かもしれませんが。