方べきの定理を使う？

質問

点Oを中心とする円に内接している△ABCがある。△ABCにおいて, 　
　　AB=5, AC=2 cos∠BAC=-(2/5) である。
点Oから線分ABにひいた垂線を延長し,　直線CAと交わる点をDとする。
このとき, 次の問いに答えよ。

（１）BCおよびsin∠BACを求めよ。
（２）円Oの半径Rを求めよ。
（３）線分ADの長さを求めよ。

（１）（２）はすぐ答えが求まり, BC=√37, sin∠BAC=(√21/5), R=(5√777/21)
と出ます。
しかし, (３）のADの長さがすぐ求まりそうでなかなか求まりません。
ちなみに答えは AD=(25/4) だそうです。

方べきの定理を使おうにも, 必要な値が出ないかったり,
外接円の半径の形がごつくて、計算でへこたれたり。。
（１）（２）の流れからもっと単純に求まると思うのですが。。
どうやって求めればよいでしょうか？

ちょっと、頭の体操で取りかかってみたのですが、
解けそうで解けず、あきらめるにもあきらめきれません。。。

ご教授お願いします。

回答No.1

178-tall · ベストアンサー

>点Oを中心とする円に内接している△ABCがある。△ABCにおいて　AB=5, AC=2 cos∠BAC=-(2/5) である。
>点Oから線分ABにひいた垂線を延長し,　直線CAと交わる点をDとする。

点 O から線分 AB に引いた垂線の足を E とする。
△ADE にて、∠DAE = π- θ, θ= arccos(-2/5) らしいから、
　AD = (5/2)/sin(θ) = (5/2)^2 = 25/4
というのが、実務的な解。

テスト的には「方べきの定理」なのですか？

お礼

投稿頂いた内容からひらめきました！！
(AE/AD)=cos(180-∠BAC)
(AE/AD)=-cos∠BAC
より、ADが求まりそうです！！
ありがとうございました！！

補足

ご回答ありがとうございます。
すごく高度な回答ですね。
私の力ではなんとなくしか理解できないです。。
申し訳ない。

＞テスト的には「方べきの定理」なのですか？
わかりません。。問題のメッセージは方べきの定理を
使わせたいように思うのですが。。値が足りないような。。
私が気づかないだけかも。。大学入試レベルなんですけどね。。