電流計と電圧計の内部抵抗がある時と無い時の比較

質問

電流計の内部抵抗Ra、電圧計の内部抵抗Rｂとする。
図のような回路がある。
内部抵抗が無視できる場合とできない場合を比較して値がRである抵抗を測定した時の誤差率をRa、Rb、Rを用いて求めよ。

自分で解いてみたら、値がRである抵抗を測定と書いてあるので、真値をRとし、内部抵抗を含む回路の合成抵抗Rｘは、

Rx　＝　Rｂ（R+Ra）/（R+Ra+Rb）

となるので、誤差率は、

　[｛Rb（R+Ra）/R（R+Ra+Rb）｝-1]*100　(％）

となったのですが、あっているでしょうか？

よろしくお願いします。

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回答No.2

Tann3 · ベストアンサー

No.1です。前のご質問が取り消されたようなので、こちらに書きます。

　今回のご質問では図がなくなってしまいましたが、前のご質問の回路図に即して回答します。

　まず、内部抵抗が無視できる場合の電流計、電圧計の測定値をＩ０、Ｖ０とすると、抵抗値は

　　Ｒ０＝Ｖ０／Ｉ０

と計算されます。このうち、Ｖ０は電源電圧Ｖに等しく、電流Ｉ０は抵抗Ｒに流れる電流ですので、

　　Ｒ０＝Ｖ／Ｉ０＝Ｒ

となります。
　ここでＲ０と書いたのは、抵抗値Ｒが分かっているわけではなく、電流計と電圧計の測定値から計算して求めた抵抗値、という意味です。これで計算した抵抗値Ｒ０が、正しくＲに等しくなる、という意味です。

　次に、内部抵抗が無視できない場合です。
　このとき、電源から出た電流は、電流計を通るＩａと、電圧計を通るＩｂに分かれます。このときの各々の電流は、

　　Ｉａ＝Ｖ／（Ｒ＋Ｒａ）　　　（Ａ）
　　Ｉｂ＝Ｖ／Ｒｂ

となりますね。
　この場合、電圧計の計測値は、結局Ｖｂ＝Ｖ　になります。電圧計は、結局のところ内部抵抗Ｒｂの両端の電圧値を測定していることになるので。

　また、電流計の測定値はＩａとなります。

　従って、計算される抵抗Ｒの値Ｒ１は、（Ａ）を使って

　　Ｒ１＝Ｖｂ／Ｉａ＝Ｖ／Ｉａ＝Ｒ＋Ｒａ

となります。

　従って、誤差は　

　　誤差＝（測定値）－（正しい値）＝　Ｒ１　－　Ｒ　＝　（Ｒ＋Ｒａ）－Ｒ　＝　Ｒａ

　正しい値Ｒとの比率を「誤差率」とすると

　　誤差率＝誤差／正しい値　＝　Ｒａ／Ｒ

となります。（％表記にするなら、×１００とする）

　Ｒａが無視できるほど小さいとき（電流計の内部抵抗がゼロに近いとき）、誤差率はゼロに近付きます。

　この場合には、電流計の計測する電流値は、抵抗Ｒを流れる電流に等しいので、電流に起因する誤差はなく、電圧計が測定する電圧が抵抗Ｒそのものの電圧ではなく、電流計の内部抵抗Ｒａを加えた抵抗値に対する電圧であることが誤差の要因なので、誤差の中にＲｂは出てきません。

　以上がご質問の回答です。

　応用問題として、質問者さんが前の質問で出された「電圧計のプラス側を、電流計のマイナス側（抵抗Ｒに近い側）に移したらどうなるか、という問題ではどうなるでしょうか。

　この場合は、電流は電流計の後で２つに分かれますので、電圧計は抵抗Ｒの電圧を正しく計測しますが、今度は電流計が抵抗Ｒの電流ではなく、抵抗Ｒと電圧計の内部抵抗Ｒｂとに分流した電流の合計値を計測することになります。

　根気よく計算してみると、

　　誤差率＝（ＲＲａ＋ＲａＲｂ）／（ＲＲａ＋ＲＲｂ＋ＲａＲｂ）

となるようです。ご自分で計算してみて下さい。（急いだので間違いがあるかもしれませんが）

　抵抗と電流の分岐を図に書いて、各部分の電流、電圧を求め、電圧計と電流計がどの値を測定するか、その測定値に基づく

　　　（抵抗値Ｒ’）＝（電圧値）／（電流値）

が、真値Ｒに対してどれだけの誤差になるか、を計算してみてください。ちょっと根気が必要ですね。

補足

問題に、R、Ra、Rbを用いて表せとあるのですが、Rｂを使わなくてもよろしいのですか？

回答No.3

Tann3

Ｎｏ．１　＆　No.2　です。

　No.2の後半の件（電圧計のプラス側を、電流計のマイナス側に接続）、やはり計算間違いをしていたようです。失礼しました。

　ゆっくり計算をしてみたら、

　　誤差率＝　Ｒ／（Ｒ＋Ｒｂ）

という単純な式になりました。

　この場合、電圧計は抵抗Ｒの電圧そのものを測定しますので、誤差は電圧計の内部抵抗Ｒｂに分流する電流に起因する、というしごくもっともな結果です。
　ＲｂがＲに比べて大きくなれば誤差率は小さくなり、Ｒｂが無限大になると誤差率はゼロになります。

お礼

度々、ありがとうございます。

補足

抵抗にかかる電圧はなぜVbになるのですか？電流計の内部抵抗による電圧降下を考えなくてもよいのですか？

回答No.1

Tann3

合成抵抗を求めただけでは、誤差そのものにはなりません。従って残念ながら「あっていません」。

　この合成抵抗に電源から電流を流したとき、電流計、電圧計にはどのような値が測定されるか、その測定値から

　　　　抵抗値＝（電圧値）／（電流値）

で計算したとき、本来のＲに対してどれだけの誤差になるか、という計算をしなければなりません。

　先のご質問の回路構成の図であれば、誤差率は実はＲｂには関係しません。
　回答はそちらに書いておきますね。