大学受験数学 接線、法線の問題

質問

f(X)=x^3/3-x^2-x+8/3上の相異なる2点P、Qにおける接線が平行であるとき、Pにおける法線がQを通るようなPの座標を求めよ。解法をご教示ください。

回答No.4

ferien · ベストアンサー

＞f(X)=x^3/3-x^2-x+8/3上の相異なる2点P、Qにおける接線が平行であるとき、Pにおける法線が
＞Qを通るようなPの座標を求めよ。
Ｐ（ａ，ｆ（ａ））、Ｑ（ｂ，ｆ（ｂ））とする。ａ≠ｂ
ｆ'（ｘ）＝ｘ^2－２ｘ－１
相異なる2点P、Qにおける接線が平行だから、ｆ'（ａ）＝ｆ'（ｂ）……（１）
Pにおける法線の傾き＝－１／ｆ'（ａ）
Pにおける法線がQを通るから、
ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝｛－１／ｆ'（ａ）｝（ｂ－ａ）……（２）
（１）より、
ａ^2－２ａ－１＝ｂ^2－２ｂ－１
（ｂ^2－ａ^2）－２（ｂ－ａ）＝０
（ｂ－ａ）（ｂ＋ａ－２）＝０
ｂ－ａ≠０より、ｂ＋ａ＝２　…（３）
（２）より、
（ｂ－ａ）｛(1/3)（ｂ^2＋ｂａ＋ａ^2）－（ｂ＋ａ）－１｝＝－（ｂ－ａ）／ｆ'（ａ）より、
｛(1/3)（ｂ^2＋ｂａ＋ａ^2）－（ｂ＋ａ）－１｝・ｆ'（ａ）＝－１　…（４）
（３）より、
ｂ^2＋ｂａ＋ａ^2＝（ｂ＋ａ）^2－ｂａ
＝２^2－（２－ａ）ａ
＝４－２ａ＋ａ^2　を（４）へ代入して整理すると、
｛(1/3)（４－２ａ＋ａ^2）－２－１｝・ｆ'（ａ）＝－１
｛（４－２ａ＋ａ^2）－９｝・ｆ'（ａ）＝－３
（ａ^2－２ａ－５）（ａ^2－２ａ－１）＝－３
ａ^2－２ａ＝Ｘとおくと、
（Ｘ－５）（Ｘ－１）＝－３
Ｘ^2－６Ｘ＋８＝０
（Ｘ－２）（Ｘ－４）＝０
よって、ａ^2－２ａ－２＝０またはａ^2－２ａ－４＝０
ａ^2－２ａ－２＝０より、ａ＝１±√３
ａ^2－２ａ－４＝０より、ａ＝１±√５
Ｐの座標は（ａ，ｆ（ａ））だから、
ａ＝１±√３のとき、
（１＋√３，１－√３），Ｐ（１－√３，１＋√３）
ａ＝１±√５のとき、
（１＋√５，１－（√５/3））（１－√５，１＋（√５/3））

計算を確認してみて下さい。

お礼

詳しいご説明ありがとうございました。（３）を求め（４）に代入しaだけの式にするところが考えつきませんでした。すっきりしました。

回答No.3

naniwacchi

#1です。

＞もう一度微分して＝２ｘ－２よって変曲点Rが（１，１）なので
なぜ、変曲点を求めたのでしょうか？いまの問題では必要ないかと。。。

＞直線PRの傾きをかけて＝－１とおくと
これもなぜこうしたのでしょうか？
題意から考えれば、直線PQの傾きをかけて -1ですよね。。。

この考え方を用いるのであれば、
直線PQが点R（変曲点）を必ず通ることを示さないといけません。

「3次関数は変曲点に対して点対称」とはなりますが、
この性質を常に使う必要もないと思います。

いまの問題は、pと qの関係式を求めること。その際に、p≠ qであること。
に注意していれば、簡単な形に変形ができます。

お礼

PとQにおける接線が平行なのでPとQは変曲点について対称だと思い考えました。PQとPRは一致し、計算が楽だと思いPRとPでの接線の関係を考えました。No4さんのように解答を導けば良いとわかりました。ありがとうございました。

回答No.2

spring135

y=f(X)=x^3/3-x^2-x+8/3

y'=x^2-2x-1

y'=aなる点のx座標は

x^2-2x-1=a (1)

2実根を持つべきなので

Ｄ/4=2+a>0として

x=1±√(a+2)

点Ｐの座標を(p,f(p)),点Ｑの座標を(q,f(q))とし、

p<qとする。

すなわち

p=1-√(a+2) (2)

q=1+√(a+2)　　(3)

(1)の関係を用いて時数を下げながら計算して

f(p)=[3-(a-4)√(a+2)]/3　　　(4)

f(q)=[3+(a-4)√(a+2)]/3　　　(5)

点Ｐにおける法線は

y-f(p)=(-1/f'(p))(x-p)　　(6)

(1)よりf'(p)=aである。

(6)が点Ｑを通ることから

f(q)-f(p)=-(q-p)/a

(2),(3),(4),(5)を代入して

a(a-4)=-3

a=1,3

a=1のとき

P(1-√3,1+√3), Q(1+√3,1-√3)

a=3のとき

P(1-√5, 1+√5/3), Q(1+√5, 1-√5/3)

お礼

詳しくご説明ありごとうございました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
「解法」をということであれば・・・

2点P、Qの x座標をそれぞれ p、qとでも置いて

＞2点P、Qにおける接線が平行であるとき
平行ということは、「傾き」が同じということですよね。

＞Pにおける法線がQを通るような
直線PQの傾きが、接線に対してどのようになっていればいいでしょうか？

未知数は 2つなので、条件式が 2つあれば求められますよね。

補足

f(x)を微分して＝ｘ＾２－２ｘ－１、もう一度微分して＝２ｘ－２よって変曲点Rが（１，１）なのでP（ｐ、ｆ（ｐ））における接線の傾き＝ｐ＾２－２ｐ－１と直線PRの傾きをかけて＝－１とおくと4次方程式；ｘ－１＝（ｘ＾２－２ｘ－１）（－１／３ｘ＾２＋ｘ＾２＋ｘ－５／３）となり解が求まりませんでした。おそらく解は無理数になると思われます。お教えいただけたらと思います。