途中計算で困っています。

質問

(1+y)/(1-y)=Ce^2x
これに
y(0)=-3
を代入して、
C=-1/2
を得ます。これを代入した上で、yについて解くと
y=(1+(1/2)e^2x)/(1-(1/2)e^2x)
=(2+e^2x)/(2-e^2x)

↑のようにあったのですが、どうやってyについて解くのかわかりません。
どなたか途中計算など解き方を教えてください！

回答No.3

MarcoRossiItaly

詳細な計算の仕方は他の皆さんが回答されているので、補足を。

要は、「(1 + y)/(1 - y) = a (a < 0) 」という y の方程式を解きなさいと言っているのと同じです。どうしますか？左辺に y の項のみを集め、右辺に y 以外の項のみを集めればいいだけですね？中学校だか、遅くとも高校1年生では行っているような計算です。現状では、左辺に「1」があったり、-1 乗になっていたりするのですから、「y = …」という形に近付くように、式変形すればいいわけです。まずは分母がいかにも邪魔だから、それを先に払えばいい、ということ。

多少、引っかかる要素があるとすると、y の最終的な答えにおいて、分母「e^(2x) - 2」あるいは「2 - e^(2x)」がゼロになる可能性については、検討しなくてよいのか？という点。No.2さんの計算をコピーして拝借すると、「y{1-(1/2)e^(2x)}=-{1+(1/2)e^(2x)}」という行において、「x = (1/2)log2」のとき、左辺の「1 - (1/2)e^(2x)」がゼロになるわけですが、あらゆる x に対して「e^(2x) > 0」であることより、右辺全体が負だと決まっています。ですから元々、左辺もゼロにならないような x（つまり(1/2)log2 に等しくない x）しか、この式を満たす可能性はないので、特定の x を除外する断りをすることなく「1-(1/2)e^(2x)」で両辺を割っても差し支えないという理屈です。双曲線の方程式「xy = 1」を「y = 1/x」と書き換えても構わないのと同じです。この双曲線上の点ならば、必ず「x ≠ 0, y ≠ 0」であるはずだからです。

回答No.2

info22_

>(1+y)/(1-y)=Ce^(2x)
>これに
>y(0)=-3
>を代入して、
>C=-1/2
>を得ます。
ここまで正しいとすれば

>y=(1+(1/2)e^(2x))/(1-(1/2)e^(2x))
> =(2+e^(2x))/(2-e^(2x))
は符号が逆で間違っています。

途中計算付きで解いてみると
(1+y)/(1-y)=-(1/2)e^(2x)
1+y=(1-y)(-1/2)e^(2x)
1+y=y(1/2)e^(2x)-(1/2)e^(2x)
y-y(1/2)e^(2x)=-1-(1/2)e^(2x)
y{1-(1/2)e^(2x)}=-{1+(1/2)e^(2x)}
y=-{1+(1/2)e^(2x)}/{1-(1/2)e^(2x)} ←分子・分母を２倍
=-{2+e^(2x)}/{2-e^(2x)}
={e^(2x) +2}/{e^(2x) -2}

となります。

回答No.1

ninoue

両辺の分母を払い==2(1-y) を両辺に掛け、式の変形をしていくだけです。
(yを含む項を左辺に集め、yを含まない項を右辺に集め、.....)

(1+y)/(1-y)=Ce^2x=-(1/2)e^2x;

なお質問に書かれている式は誤りですね。 y(0)=-3にはなりません。
分母の符号が逆のようです。　
y=(1+(1/2)e^2x)/(1-(1/2)e^2x)
=(2+e^2x)/(2-e^2x)

y(0)=(2+e^0)/(2-e^0)=3/1=3