べき級数で解く微分方程式
次の微分方程式の解を 式(5.1) = y(x) = Σ[i=0,∞] ( a_[i] * x^i ) のべき級数を用いて求めよ。
x (dy/dx) - y = x^k （ただし、kは1以外の自然数）
解答
y を式(5.1)のべき級数で展開し、微分方程式に代入して係数a_iについての関係式を求める。
(1) べき級数展開から次の式を得る。
x Σ[i=0,∞] (i+1)( a_[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a_[i] * x^i ) = x^k
xの次数ごとに両辺の係数を比較すると、n≠kなるnについて (n-1)a_[n] = 0 となる。 ←疑問点
n≠1 (n≠k) に対して a_[n] = 0 であり、(k-1) * a_[k] = 1より y = 1/(k-1) * x^k を得る。
n=1に対しては、a_[n] = a_[1] ≠ 0でも(n-1) * a_[n] = 0となる。
実際、y = 1/(k-1) * x^k + ax (aは任意の定数) が微分方程式の解となる。
・・・と本に書いてありますが、「疑問点」のところの比較の方法が分かりません。
まず、i が 0 から n まで変化する過程を自分で計算してみました。
i=0:
x * (0+1) a_[0+1] * x^0 - a_[0] * x^0
= a_[1] * x - a_[0]
i=1:
x * (1+1) a_[1+1] * x^1 - a_[1] * x^1
= 2a_[2] * x^2 - a_[1] * x
i=2:
x * (2+1) a_[2+1] * x^2 - a_[2] * x^2
= 3a_[3] * x^3 - a_[2] * x^2
:
i=n:
x * (n+1) a_[n+1] * x^n - a_[n] * x^n
= (n+1) a_[n+1] * x^(n+1) - a_[n] * x^n
これらを使って「xの次数ごとに両辺の係数を比較する」んですよね。
しかし左辺だけでも、xの次数が1つずつズレていますよね・・・？
これらと x^k を具体的にどうやって比較するのでしょうか？
x^2ならx^2だけでまとめるんですか？
それともx^3とx^2が混ざった形で比較するのですか（どうやってやるのか分かりませんけども）？
どうか教えてください。お願いします。
