傾きの差の信頼限界を求めるには

質問

共分散関係かなと少し勉強してみたのですが、傾きに差があることの検定は見つかるのですが
傾きの差の信頼限界について見つかりませんでした。よろしくお願いします。

測定値を時系列で並べてその傾きが「求める値」 となるような計測をしています。
　バックグラウンドの測定での傾き(Bo)
　標準試料(求める値=ms)を測定したときの傾き(Bs)
　試料１を測定したときの傾き(B1)
から、試料1の求める値m1 = ms * (B1 - Bo)/(Bs-Bo) とするわけです。

測定数 n, 相関係数R、回帰の傾きB、Xの分散をSxx、残渣の分散Se、傾きゼロに対するt値 t とすると
次のような結果になりました。(分散は大きいので10^6で割った値）
　バックグラウンド n=19 R=0.999998 Bo=19.53, Sxx=260.40, Se=0.32, t=2301
　標準試料　　　n=23 R=0.999993 B1=20.95, Sxx=311.41 ,Se=1.85, t=1244
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　傾きBoに対するt値85
自由度20近辺のt値は99%でも3弱ですから、
各々の傾きも、傾きに差があることも検定できていると思うのですが、
各々の傾き、傾きの差の信頼限界はどのように考えたらよいでしょうか。

測定試料の m値の測定誤差、測定限界を知りたい　というのが目的です

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

（積の標準偏差）
XとYが独立のときについて書きます。独立でないと、式が大変複雑になるので。
Xの平均をa、標準偏差をsとし、Yの平均をb、標準偏差をtとします。すると、

　XYの分散= a^2t^2+b^2s^2+s^2t^2

となります。XYの標準偏差は、右辺の平方根になります。

（商の標準偏差）
上と同じ記号を使います。XとYが独立という仮定も同じです。Yが正規分布のとき、X/Yという分布は理論的には存在しません。Yが0になったときにX/Yが計算できないからです。そこで、近似的に、tがbに比べて十分に小さいと想定します。すると、Y=0になる確率が小さいので、「Y≠0という条件付きのX/Yの分散」を「X/Yの分散」の近似値とすることができます。すると、

　X/Yの分散≒ (a^2+s^2)t^2/b^4+s^2/b^2

となります。X/Yの標準偏差の近似値は、右辺の平方根になります。

（(Bs-Bo)/(B1-Bo)の標準偏差）
この場合、Bs-BoとB1-Boが独立でないので、上の商の標準偏差の式を使う訳にはいきません。正直言って分かりません。

お礼

ありがとうございます。
b/tが1000ぐらい有るのでY≠0という条件付きはクリアできますが、
独立でないから使えない、ですか。。

BGと標準試料と測定対象と、という測定は世の中あふれていると
思うのですが、皆さん測定誤差とか限界とかどう評価してるんだろう。

さて、と、、、
Boは定数だ！　として独立してることにして使わせていただきます。

有難うございました。助かりました。

回答No.1

ramayana

（「標準資料の傾き」＝「バックグラウンドの傾き」を検定する場合）
平均0、標準偏差0.019の正規分布に当てはめて計算します。

B0とB1の差が1.42なので、この正規分布で値が-1.42～1.42になる確率を求めると、1-7.8×10^(-14)となりました（エクセルで計算したので精確性は保証できません）。したがって、「資料１の傾き」＝「バックグラウンドの傾き」は、有意水準7.8×10^(-14)で棄却されるかと思います。

（標準偏差0.019の求めかた）
B0の標準偏差（標準誤差）は、B0/t値＝0.00849。同様に、B1の標準偏差は、0.0168。B0とB1が独立とみなして、B1-B0の標準偏差は、これらの平方の和の平方根で、0.019となります。

（正規分布を使うことについて）
正規分布を使うことに根拠はありません。ただ、回帰分析では、残差が正規分布であることを仮定することが多いので、それに従ったまでです。

（「資料1の傾き」＝「標準資料の傾き」を検定する場合）
質問にあるm1でなく、単純に「Bs-B1」で検定してはいけないのでしょうか。そうすれば、上と同じ手法が使えます。

お礼

有難うございました。
> B0の標準偏差（標準誤差）は、B0/t値＝0.00849
これが分かりませんでした。

おかげで見えてきました。
実際の試料での傾き Bsがでたら、Bo=Bs の検定をし、
棄却されたら検出限界以上であったとすればよいわけですね。

＞ 質問にあるm1でなく、単純に「Bs-B1」で検定してはいけないのでしょうか。そうすれば、上と同じ手法が使えます。

mの差とBの差は単純な比例ですから、Bで検定した結果でmの評価を行うつもりです。

もう一つ分からないことがでてきました
(Bs-Bo)/(B1-Bo) の標準偏差は、、、
分子、分母の標準誤差の求め方はわかります。加減の場合は二乗の和の平方根。
商、積の標準誤差はどうやって求めるのでしょうか。