統計学（検定）の問題なのですが…

質問

母平均が既知、母分散が未知である正規母集団の母分散σ^2＞０について、
帰無仮説：σ^2=σ_0^2
対立仮説：σ^2>σ_0^2
と設定し、片側検定を有意水準５％で行うことを考える。真の値がσ^2=(1/3)σ_0^2であるとき、97.5％以上の確率で帰無仮説が棄却されるために必要な標本数の最小値はいくらか。

という問題が解けず、どなたか考え方をお教え頂けると幸いです（σ_0は添字です）。本文ではこの下にずらずらとカイ二乗の値が並んでいます。答え自体は分かっていて、２２個ということでした。自分は東大出版会の統計学入門という本で学んだのですが、これに類する問題は目にしたことがなく、いささか戸惑っています。

また、もし宜しければこのように少し応用しなければ解けない統計学の問題集をご存知の方がいらっしゃいましたら教えて頂けると光栄です。単なる検定なら実行できるのですが、応用力が全く身に付かず困っています…。

長くなりましたがどうぞ宜しくお願い致します。

回答No.1

kzkz_tool · ベストアンサー

こんにちは。
母分散の検定とサンプルサイズ設計の基本的な概念はわかっておられるとして。
作業対立仮説(σ^2=(1/3)σ_0^2)のもとでは，S/(σ^2)=3S/(σ_0^2)が自由度nのカイ二乗分布に従うことを利用します。ここに，S=Σ(X_i-μ)^2，μは既知の平均です。

1-β=Pr{S/(σ_0^2)>χ^2_α(n)}(もともとの検定)
=Pr{S/(σ^2)>χ^2_α(n)/3}(作業対立仮説の情報をon)

たとえば，22例のとき，
Pr{S/(σ^2)>33.9/3}=Pr{(σ^2)>11.3}≒0.975
となりますね。

問題集は，どのような目的で買われるのか存じ上げませんが，
私が大学院入試のときに解いたのは演習大学院入試問題とかいう問題集です。

以上，とり急ぎ

お礼

ありがとうございます。
本もご紹介頂き恐れ入ります。黄色い本ですね。以前書店で目にしたことはあったのですが、是非手に入れて解いてみたいと思います。

母分散の検定は一応勉強しましたが、よく分からないのでよろしければもう一つ伺いたいのですが
・母平均既知の場合→カイ二乗分布の自由度は標本数と同じ
・母平均未知の場合→カイ二乗分布の自由度は標本数から一つ減る
という理解で宜しいでしょうか（この場合は後者）。

自由度が減るのが結局ネックになっていたような気がします…。

回答No.2

kzkz_tool

問題文より，母平均が既知であれば，前者ではないでしょうか？
また，母平均が未知であれば，自由度は1減りますが，
それがネックになることはないかと思います。
単に，nのところを，n-1に変えればよいだけかと。

お礼

前者と後者間違いました…。
この度は大変助かりました。ありがとうございました。