同じものを含む順列（YOKOHAMA)

質問

赤チャート数学I＋A（例題32）の問題の解答の一部を理解できず，質問をしています。

YOKOHOMAの8文字（AとOが2つ，YKHMが１つ）を横1列に並べての順列を考える問題です。
ただし，AOという並び，または，OAという並びの少なくとも一方を含むことです。

考え方は，少なくとも一方ですから，排反を考えて，
（解答）＝（制約なしの順列全体）－（一つも含まない）

そこで，一つも含まない場合を考えるため，
次の□にはAまたはOが入り，〇にはYKHMが入るものとしたとき，題意より，次の並びとなります。
□〇□〇□〇□〇□
〇は４つ，YKHMも４文字ですから，この順列の場合の数は　４！です。
ここまでは納得しています。

困ったのが次です。
五つの□に入るパターンは，次の４つ
[1] A, A, O, O [2] AA, O, O [3] OO, A, A [4] OO, AA

[1]の場合，私は，
五つの□から四つを選び（5_C_4），その中で，A,A,O,Oを並べるので４！，そして，A,A　と　O,Oはひっくり返しても同じだから，それぞれ　２！で割ると考え，この場合の数は
5_C_4 × 4 ! /( 2 ! × 2! ) ・・・・・（１）
と考えたのですが，解答では，
5_C_2 × 3_C_2　　　　　　　　　・・・・・（２）
です。
　（２）式も説明を受ければ納得できるのですが，（１）式の考え方なぜ違うのかがわかりません。
まず，この私の考え違いをご教示お願いします。

次に，[4]の場合，私は，
五つの□から二つを選べばよいと考えて，この場合の数は
5_C_2　　　　　　　　・・・・・（３）
と考えたのですが，解答では
5_P_2　　　　　　　　・・・・・（４）
となっています。
（３）式の考え方が　なぜ違うのか，この点のご教示をお願いします。

回答No.2

kacchann

#1さんの回答で
もうわかっていれば
この解説は不要です。

[4]
カタマリa=AA
カタマリo=OO
と呼ぶ。

□〇□〇□〇□〇□

この□1つにaかoを1つずつ入れることを考える。
質問者さんの考え方は、
「5箇所ある□のうち、
2つのカタマリを入れる2つの□を選ぶ選びかた(※「場所の」組み合わせだね)は何通りか」。
で5C2。
ここまではOK.
ただ、このままだと、
たとえば下記
a〇o〇□〇□〇□
o〇a〇□〇□〇□
の2つの「互いに異なる並べ方」を同一視してしまう。

まあ、2！をかけてやれば解消するけど。

(赤チャートの考え方)
□〇□〇□〇□〇□
の□が5つ。番号ふろうか。アイウエオ。
カタマリaがアイウエオどこにはいるのかで5通り。
そのそれぞれに対し、カタマリoの入る場所は4通り。
ようするにアイウエオから2つ選んで並べた順列だね。

※「ダブルカウントしてないかどうか」などの確認で混乱するようなら，
1つ具体例を書いてみるのがコツ
---

[1]
この問題に限らず、
「同じ物を含む順列」を考えるとき、
たぶんだいたいいつも付きまとう問題のような気がする。

例:
赤赤白白のカードを並べる並べ方は何通りか。
(解1)場所決定法
まず配置する場所をアイウエと名づける。
で、赤を配置する場所を決める。4C2通り。
おわり。

(解2)「まずすべて区別順列」法
まず、すべてのカードを区別した順列を考える。
これは4P2通り。
でも実際には同種カードを同一視するために、
2!2!で割る。

赤チャートの解法は「場所決定法」のほう。
質問者さんのほうは、「まずすべて区別順列法」になってますね。
2つ使えるようにしておくといいかと。

お礼

ありがとうございます。
1問目については，私が同じことを言っていたのですね。
2問目については，教えられると，なるほど，と思いますが，
その発想に至るのは，なかなか難しく感じますが，
これも，反復練習で何とか学ぶしかないかと思います。

回答No.1

hrsmmhr

[1]については、違う考え方でも仮定と論理が正しければ同じ正解に辿り着くのが数学ですし
あなたの考え方は間違っているとは思いません
ご自分の考え方が間違っていないとご自分で確認できたらいいですよね

[4]は五つの中から二つ選んだだけでは、AAとOOが入れ替わったもの二つをひとつと数えますので
順列にするのが正しいです。[1]では順列に相当する部分は同じ文字(列)なので組み合わせだけでいいのです。