簡単な一次方程式も解けません。考え方を教えて下さい

質問

先日、下記の解き方をこちらで質問して解決したのですが、そもそも発想できなくて少々悩んでいます。
下記の問題は一例なのですが、x、y、zを2回足すと5、6、7を足した値と同じになる、などと思いつかないのです。
四則演算（九九を含めて）は出来ますし、日常生活で困ることはありませんが、「数学」は泣き所であると同時に「憧れ」（わかったらきっと面白いだろうなという）でもあります。
頭が悪い人は諦めたらいいよというアドバイスはなしで、こんなふうに考えたらいいかもよといったアドバイスをお願いします。

x、y、z、の値を答えなさい

　x+y=5 y+z=6 z+x=7

回答No.6

FEX2053 · ベストアンサー

>問題の三つの式が、
>X + Y + Z = 9
>↑こうなることをひらめかないのです。

これは結局「経験」ですね。一度でもそういう方法で
解いたことを覚えてなくちゃ、手掛かりは得られません。

ただ、数学の解き方は「果てしない一般化」の世界です。

今回はX+Y,Y+Z,Z+Xという比較的判りやすい式で出て
来たんですが、これが例えば

2X+Y=7 2Y+3Z=21 2X+Y+Z=13

なんぞとなってるときに「全部足して引く」なんて発想が
即座に出てくるか、って話です。全部足したらX,Y,Z全て
「４」になる、だったら同じやり方で行ける筈ってのが
「一般化」なんですね。

要は「覚えていた"手"をどれだけ使えるか」ってことです。
逆に言えば「手」をたくさん覚えていて、場面場面で「手」
を要領よく引っ張り出す、ってのが学校数学の世界です。

数学の研究でも、最終的には「手」をどこに求めるかという
発想が全て、という面があります。数学の応用力って、
そういうことだと私は思うんですけどね。

お礼

ご回答ありがとうございます。

だんだん学校の数学（算数）の記憶がよみがえってきました。
素直なこどもだったので、先生の言われた手順をそのまんま飲み込んで、受験を通り過ぎ学業を終えましたが、自分の頭で考えて理解しなかったために、すっかりさっぱり「手」を忘れてしまっております。

ひょんなことから試験を受けて、面白いと思いましたので、もう一度楽しんで勉強してみます。

回答No.7

Knotopolog

このテの連立方程式を解く考え方としては，未知数（x, y, z）のどれか一つを「ひとりぼっち」にするには，どう計算すれば良いかを探ることです．

● 「ひとりぼっち」法（１）

　x＋y＝5　　y＋z＝6　　z＋x＝7

に対して，x＋y＝5 から

x＝5－y

を得ます．x＝5－y　を　z＋x＝7　に入れると，

z＋x＝7　→　z＋5－y＝7　→　z－y＝7－5　→　z－y＝2

です．z－y＝2　と　y＋z＝6　を用いて，辺々加えると，

z－y＋y＋z＝2＋6　→　2z＝8　→　z＝4

これで，z　が「ひとりぼっち」になりました．そして，z＝4　です．

次に，z＝4　を　y＋z＝6　に入れれば，y　が「ひとりぼっち」になり，y＝2　が求まります．

次に，y＝2　を　x＋y＝5　に入れれば，x　が「ひとりぼっち」になり，x＝3　が求まります．

以上が，「ひとりぼっち」法（１）の計算法です．

● 「ひとりぼっち」法（２）

　x＋y＝5　　y＋z＝6　　z＋x＝7

を全部，辺々加えます．

x＋y＋y＋z＋z＋x＝5＋6＋7　→　2x＋2y＋2z＝18　→　x＋y＋z＝9

x＋y＋z＝9　から，x＋y＝5　を辺々引き算すると，

x＋y＋z－(x＋y)＝9－5　→　z＝4

となり，z の「ひとりぼっち」が得られて，z＝4　となります．

次に，x　と　y　を得る計算は，お分かりと思います．

この様に，兎に角，x，y，z，のどれかを「ひとりぼっち」にするには，どう計算すれば良いか？　を考えるのが，連立方程式を解く基本です．

以上です．お粗末な文章で失礼しました．

お礼

ご回答ありがとうございます。
ひとりぼっちにするとは面白いですね。

別の質問でも、ご回答いただいたふたつの方法を教えていただきました。
教えていただく間に思い出してきましたが、
（1）は学校で教えてもらった方法だったように思います。
（2）は学校では教えてもらったような気がしません。

そこで思ったのは、（2）を思いつかれた方はどんな発想をされたのだろうという疑問でした。
たぶんたくさん問題を解いていけばわかるのでしょう。

回答No.5

srafp

> x+y=5 y+z=6 z+x=7
文章をコピペしたら３つの式を１行に書いているのが分かりましたが、画面上はx+y=5y+z=6z+x=7 とも読めてしまうので、もしも次に書く時には、次のように書くと良いです。
　x+y=5　・・・式１
　y+z=6　・・・式２
　z+x=7　・・・式３
さて、１番様も仰られて居りますが、変数（Ｘ，Ｙ，Ｚ）が幾つも出てくる方程式は、式を変形して変数のどれか１つを消すのがセオリー。
どれからはじめてもいいのですが、変数Ｘに注目すると式２のみが登場しない。
　⇒式１と式３を式２へ代入可能
そこで、式２へ代入する為に式１と式３を次のように変形
　Ｘ＋Ｙ＝5　⇒　Ｙ＝５－Ｘ　・・・式１’
　Ｚ＋Ｘ＝7　⇒　Ｚ＝７－Ｘ　・・・式３’
変形後の式１’と式３’を式２に代入すると
　（５－Ｘ）＋（７－Ｘ）＝６　・・・式２’
式２’を解いていくと
　５－Ｘ＋７－Ｘ＝６
　　　↓
　５＋７－Ｘ－Ｘ＝６
　　　↓
　１２－２Ｘ＝６
　　　↓
　１２-６＝２Ｘ
　　　↓
　　６＝２Ｘ
　　　↓
　　３＝Ｘ
この「Ｘ＝３」を式１に代入すると
　Ｘ＋Ｙ＝５
　　↓
　３＋Ｙ＝５
　　↓
　Ｙ＝５-３
　　↓
　Ｙ＝２
「Ｘ＝３」を式３に代入すると
　Ｚ＋Ｘ＝７
　　↓
　Ｚ＋３＝７
　　↓
　Ｚ＝７－３
　　↓
　Ｚ＝４
最後に検算をして、自分の出した答えが正しいのかをチェックする
　Ｘ＋Ｙ＝5　⇒　３+２＝５　・・・　ＯＫ
　Ｙ＋Ｚ＝6　⇒　２+４＝６　・・・　ＯＫ
　Ｚ＋Ｘ＝7　⇒　４+３＝７　・・・　ＯＫ

> 四則演算（九九を含めて）は出来ますし、日常生活で困ることはありませんが、
> 「数学」は泣き所であると同時に「憧れ」（わかったらきっと面白いだろうなという）でもあります。
それでは『数学検定』を受けてみてはどうでしょうか？
或いは中学又は高校の数学の復習本が出ているので、それを読んでみるのも良いかもしれません。
因みに、今回書かれている式は、昔、国家公務員試験I種を勉強している方が、同じ学校で別の資格取得の勉強をしている私に『別の資格でレッスンアドバイザーをしている先生ですよね。公務員試験を担当している先生が遅れるというので、若し宜しければ、この経済学の計算問題の解き方を教えくださいませんか？』と言ってきた時の過去問とレベルは同じです。ですから、基本が判ってしまえば、難関だといわれる国家公務員試験I種の試験問題でも解く事が可能な問題も出てきますので、多少はホラが吹けて楽しいですよ。

お礼

ご回答ありがとうございます。

丁寧な計算を拝見しているうちに、中学校（たぶん）の数学（算数？）のノートのデザインや使っていたシャープペンまで思い出してきました。
書いていただいたように、ノートに一段一段細かく計算してました。

今日初めて数学検定をいうものがあるのを知ったので、受検するかどうかはまるで想像できませんが、まずは書店で過去問や参考書を見てどの段階から始めるか決めようと思います

回答No.4

obrigadissimo

たとえば、x・y・z、を ○・□・◇ にして、
○＋□＝５、□＋◇＝６、◇＋○＝７
のようにするなど自分の好みに置き換えて考えてみると、
拒絶反応に因る思考停止を招来させなくなるかもしれませんよ。

インド式算数 で検索して遊んでみませんか。
たのしみながら進められて
拒絶反応が起きなくなるかもしれませんよ。

アタマの良し悪しではなしに、
当時の先生の教え方や人間性に親しめなかったのでは
ないでしょうか。
私は中１のとき習字の成績が〈５４３２１〉評価の３学期とも〈２〉でした。
ところが中２になって違う先生になったら１学期から〈４〉でした。
習字はテストで点数でわかるような科目ではないので
奇妙に感じ、それとなく調べてみましたところ中１のときの
先生には私の妹と同学年の娘がいて、
成績が私の妹より下位であることがわかり、
江戸の仇を長崎で討つ のように私の成績で
腹癒せをしていたことが判明しました。
というように先生との関係の影響がありますので、人間性に
難がある人が担当になると一生の不作的な危うさがありますね。
いまは大学生でも分数の計算ができなかったり、
千円の２割５分引きがいくらになるかが解からない人が
フツーにいるそうですが、そうした状況のまま卒業させてしまう
小学校時代の先生の無責任さに憤りを覚えます。白紙でなければ
入学させ、所定の授業料が納付されていれば卒業させるという
大学にも重大な背信性を感じます。

算数オリンピック・数学オリンピック・数学検定などの
できるだけ詳しい説明のある参考書を、
図書館等で読み進めて、過ぎ去った無為の時間を
取り戻してみませんか。
Good Luck！

お礼

ご回答ありがとうございます。

例示した問題はある筆記試験で出たのですが、この問題を目にしたとき、昔習ったことを思い出して、式を変形するところまではできたのですが、どこに代入したらよいのか戸惑い、あっちの式、こっちの式に代入してみている間に時間切れになってしまいました。

帰宅してから、おっしゃるように、
中の見えない色の違う箱にそれぞれキャラメルが入ってる。
…というように頭の中で想像してみました。

数学検定というものがあるのですね。
試験はともかく、小学校中学年くらいの文章問題を解くことから始めようと思います。

回答No.3

mister_moonlight

＞x、y、zを2回足すと5、6、7を足した値と同じになる、などと思いつかないのです。

それは思いつく必要もない。そんな方法は　慣れてからで良い。先ず、正解を出す事が先決。

3つの数字、x、y、zがある。その２つずつの和の数字が分かっている。
その関係を数式で表すと、x+y=5 y+z=6 z+x=7 になる。
その時、3つの数字、x、y、zの各々の値を求めたい。さて、どうするか？

x、y、zの関係がどうなっているか、先ず考えるところだ。
x+y=5からy=5-x　(これくらい＝移項すること　分からないと話にならないが)　、又、３つ目の式からz=7-x。
これで　x、y、zの関係が出た。そして、第2の式を未だ使っていないる
y、zの式だから、それに代入するとxの値が出るだろう。そうすると、自動的にy、zの値は求められる。
と、考えて行く。

つまり、どうすれば正解にたどり着けるか自分の頭で考える、それが数学の出発点。
それは、慣れと共に訓練と努力を必要とする。その習得は、短期間では無理。小学校からの積み重ね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
「慣れと共に訓練と努力」「小学校からの積み重ね」…なるほど。
思い返すと小学校時代の算数の授業の記憶がほとんどありません（笑）
好きでも嫌いでもなくて印象が薄いのか、極度にイヤで記憶を呼び起こすことができないのか…それも思い出せません。
これを機会に小学校中学年くらいからやり直してみようと思います。

回答No.2

FEX2053

大原則で、王道のやり方が#1さんの方法ですが。

こういう風に「変数がぐるりと一回りしている」場合は
全部足しちゃって、どれかの式を引き算すると、入って
ない変数の値が判る・・・という方法があります

要は

X + Y + Z = 9

で

X + Y = 5

なら、両方引き算して

(X + Y + Z ) -(X + Y) = 9 - 5

すなわち

Z = 4

って話ですよね。
今回の場合、単純に

(X + Y)+(Y + Z)+(Z + X) = 5 + 6 + 7

だもんで、　2X +2Y + 2Z = 18

すなわち、　X + Y + Z = 9

が得られるので、この方法が行けるんです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

例示しました問題については別の質問で理解できたのですが、この質問は、新書の題名みたいですが「数学入門」とか「数学的発想法」と言えば良かったのかもしれません。

問題の三つの式が、
X + Y + Z = 9
↑こうなることをひらめかないのです。

もう一回質問しなおすべきかと思い始めました。
「初めて問題を見て、上記のように思いつかれたのはなぜですか？」と。

脳自体が違うのかなとか思います。

回答No.1

wakko777

３つも数式があるとごっちゃになるので、なるべく式を少なくするように心がけます。
この問題の場合、まずX+y=5　の式を変形して　ｙ＝５－ｘ　とします。
で２番目の式に代入すると
（５－ｘ）＋ｚ＝６　という式になります。
それと３番目の式　ｚ＋ｘ＝７　の二つの式から　ｘとｚの値を導いて
最後に最初の式にｘの値を代入してｙの値を出します。

要は、計算する文字や式を極力減らすってことです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
上記の問題に関してはすでに理解できました。
うまく質問できなかったのですが、解き方を解説していただくとなるほどと理解できるのですが、新たな問題をひとりでとりかかると頭が真っ白になります。
どう解くかひらめかないのです。
小学校中学年程度の算数の問題をたくさん解いていけば発想が出てくるのでしょうか？
といった具体的な勉強法でも、発想についてのアイデアなと教えていただけると助かります。