a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2…

質問

文字は正とする。
a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≧abc(a+b+c)
の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。

回答No.3

mister_moonlight

＞証明から、文字は正でなくてもよいようでした。

いや、その条件を使った解法を示そう。相加平均・相乗平均が使える。

＞a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2

a^4+b^4≧2a^2b^2、b^4+c^4≧2b^2c^2、a^4+c^4≧2c^2a^2。
これらを足すと　a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2　になる。

＞b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≧abc(a+b+c)

b^2c^2+c^2a^2≧2abc^2、c^2a^2+a^2b^2≧2bca＾2、a^2b^2＋b^2c^2≧2acb＾2
これらを足すだけ。

お礼

すばらしい内容をありがとうございました。